EDHEC 2000

On lance ind\efiniment une pi\ece donnant ``Pile'' avec la probabilit\e p et ``Face'' avec la probabilit\e q = 1 p . On suppose que p ] 0 , 1 [ et on admet que les lancers sont mutuellement ind\ependants.

Pour tout entier naturel k , sup\erieur ou \egal \a 2 , on dit que le k i e ` m e lancer est un changement s'il am\ene un r\esultat diff\erent de celui du ( k 1 ) i e ` m e lancer.

On note P k (resp. F k ) l'\ev\enement : ``on obtient Pile (resp. Face) au k i e ` m e lancer''.

Pour ne pas surcharger l'\ecriture on \ecrira, par exemple, P 1 F 2 \a la place de P 1 F 2 .

Pour tout entier naturel n sup\erieur ou \egal \a 2 , on note X n la variable al\eatoire \egale au nombre de changements survenus durant les n premiers lancers.

Partie 1 : \etude de quelques exemples.

  1. Donner la loi de X 2 .

    1. Donner la loi de X 3 .

    2. Vérifier que E ( X 3 ) = 4 p q et que V ( X 3 ) = 2 p q ( 3 8 p q ) .

    1. Trouver la loi de X 4 .

    2. Calculer E ( X 4 ) .

Partie 2 : \etude du cas p q .

Dans cette partie, n 2

  1. Exprimer P ( X n = 0 ) en fonction de p , q et n .

  2. En décomposant l'événement ( X n = 1 ) en une réunion d'événements incompatibles, montrer que
    P ( X n = 1 ) = 2 p q q p ( q n 1 p n 1 ) .

  3. En distinguant les cas n pair et n impair, exprimer P ( X n = n 1 ) en fonction de p et q .

  4. Retrouver, grâce aux trois questions précédentes, les lois de X 3 et X 4 .

  5. Pour tout entier naturel k , supérieur ou égal à 2 , on note Z k la variable aléatoire qui vaut 1 si le k i e ` m e lancer est un changement et 0 sinon ( Z k est donc une variable de Bernouilli).

    Écrire X n à l'aide de certaines des variables Z k et en déduire E ( X n ) .

Partie 3 : \etude du cas p = q .

  1. Vérifier, en utilisant les résultats de la partie 1, que X 3 et X 4 suivent chacune une loi binômiale.

  2. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , X n suit une loi binômiale dont on donnera les paramètres.