(EML 2000) Corrigé par Pierre veuillez
I Premier protocole

  1. (X=k) signifie que le premier roi rouge apparaît au k ième tirage. Celà arrive au plus tard au 2n- 1ème tirage car il ne reste alors que les deux rois rouges.
    Donc que l'on n'en a pas eu avant (E)et qu'au kième on en a un ().
    Donc (X=k)= E1 E2 k et
    p(X=k) = p( E1 )·p( E2 / E1 )p( Ek-1 / E1 Ek-2 )p( k / E1 E2 Ek-1 ) = 2n-2 2n · 2n-3 2n-1 ··· 2n-2-(k-2) 2n-(k-2) · 2 2n-(k-1)

    car, par exemple, quand on a tiré déjà E1 Ek-2 il reste 2n-2-(k-2) cartes qui ne sont pas des rois rouges parmi 2n-(k-2) cartes équiprobables.
    Or (2n-2)(2n-3)(2n-k)=(2n-2)!/(2n-k-1)!
    et (2n)(2n-1)(2n-k+1)=(2n)!/(2n-k)! donc
    p(X=k)= 2(2n-2)!(2n-k)! (2n-k-1)!(2n)! =\dfrac2n-kn(2n-1)


  2. E(X) = k=1 2n-1kp(X=k)= k=1 2n-1k\dfrac2n-kn(2n-1)=\dfrac1n(2n-1) k=1 2n-1k(2n-k) = \dfrac1n(2n-1)( k=1 2n-1k2n- k=1 2n-1 k2 )=\dfrac1n(2n-1)(2n k=1 2n-1k- (2n-1)(2n+1)(4p-2+1) 6 ) = \dfrac1n(2n-1)(2n (2n-1)(2n) 2 - (2n-1)(2n)(4n-2+1) 6 ) = 2n(2n-1) n(2n-1) (n- 4n-1 6 )=2( 6n 6 - 4n-1 6 )=\dfrac2n+13

  3. On a G1 =a-X et on a donc E( G1 )=a-E(X)=a- 2n+1 3
II Deuxième protocole

  1. Pour tout entier k{1,...,n}, ( G2 =a-k) signifie que l'on a retourné un roi rouge au kième tirage. Donc ( G2 =a-k)=(X=k).
    et p( G2 =a-k)=p(X=k)=\dfrac2n-kn(2n-1)
  2. ( G2 =-n) signifie que l'on a pas tiré de roi rouge jusqu'au nième tirage.
    Donc ( G2 =-n)= E1 E2 En et
    p( G2 =n)=p( E1 )·p( E2 / E1 )( En / E1 E2 En-1 ) = 2n-2 2n · 2n-3 2n-1 ··· 2n-2-(n-1) 2n-(n-1) = (2n-2)! (n-2)! · n! (2n)! = n(n-1) 2n(2n-1) =\dfracn-12(2n-1)

  3. Comme les valeurs de G2 sont {a-k/k[[1,n]]}{-n} on a alors (courageusement)
    E( G2 )= k=1 n(a-k)p( G2 =a-k)+(-n)p( G2 =-n) = k=1 n(a-k)\dfrac2n-kn(2n-1)-n\dfracn-12(2n-1) =\dfrac1n(2n-1) k=1 n(a-k)(2n-k)-n\dfracn-12(2n-1) =\dfrac12n(2n-1)[2 k=1 n(a-k)(2n-k)- n2 (n-1)] =\dfrac12n(2n-1)[2 k=1 n[2na-(2n+a)k+ k2 ]- n2 (n-1)] =\dfrac12n(2n-1)[4na k=1 n1-2(2n+a) k=1 nk+2 k=1 n k2 - n2 (n-1)] =\dfrac12n(2n-1)[4 n2 a-2(2n+a) n(n+1) 2 +2 n(n+1)(2n+1) 6 - n2 (n-1)] =\dfracn2n(2n-1)[4na-(2n+a)(n+1)+ (n+1)(2n+1) 3 -n(n-1)] =\dfrac12(2n-1)[(3n-1)a-2n(n+1)+ 2 n2 +3n+1-3 n2 +3n 3 ] =\dfrac16(2n-1)[3(3n-1)a-6n(n+1)- n2 +6n+1] =\dfrac16(2n-1)[3(3n-1)a-7 n2 +1]=\dfrac3(3n-1)a-(7 n2 -1)6(2n-1)

III Comparaison des deux protocoles

On compare les gain moyens obtenus par les deux méthodes dans le cas où n=16:

E( G2 )-E( G1 ) = \dfrac3(3n-1)a-(7 n2 -1)6(2n-1)-a+ 2n+1 3 = \dfrac3(47)a-(7·256-1)6(2n-1)-a+ 2n+1 3 = \dfrac3(3n-1)a-(7 n2 -1)6(2n-1)-a+ 2n+1 3 = \dfrac[3(3n-1)-6(2n-1)]a-(7 n2 -1)+2(4 n2 -1)6(2n-1) = \dfrac3(-n+1)a+ n2 -16(2n-1) = \dfrac(n-1)(-3a+n+1)6(2n-1)

donc si a(n+1)/3 alors la différence est positive et il vaut mieux choisir la méthode 2, sinon, la méthode 1 est préférable.
(EML 2000)



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On 18 May 2004, 00:02.