(EML 2000)
Soit a un entier strictement positif. On dispose d'un jeu usuel de 2n cartes ( n=16 ou 26) qui contient donc deux rois rouges, et on envisage deux jeux d'argent régis par les protocoles suivants.

I Premier protocole

Les cartes du jeu sont alignés sur une table de façon alétoire. Le joueur découvre les cartes, de gauche à droite jusqu'à obtenir le premier roi rouge. On note X la variable aléatoire égale au rang d'apparition du premier roi rouge et E(X) son espérance.

  1. Montrer : k{1,...,2n-1},P(X=k)=\dfrac2n-kn(2n-1)
  2. Montrer : E(X)=\dfrac2n+13 On rappelle que pour tout entier naturel p\geqslant1, on a : k=1 p k2 =\dfracp(p+1)(2p+1)6.
  3. Le joueur paie un franc chaque fois qu'il découvre une carte et gagne a francs losqu'il obtient le premier roi rouge. On note G1 la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. Ainsi, si le premier roi rouge apparaît à la kième carte découverte, G1 est égale à a-k. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire
    G1 .
II Deuxième protocole

Les 2n cartes du même jeu sont alignés sur une table de façon aléatoire, mais cette fois-ci, le joueur peut découvrir au maximum n cartes. Le joueur paie un franc chaque fois qu'il découvre une carte et gagne a francs losqu'il obtient le premier roi rouge.On note G2 la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. Ainsi, si le premier roi rouge apparaît à la kième carte découverte (k\leqslantn), G2 est égale à a-k, et si le joueur n'obtient pas de roi rouge à l'issue des n premiers tirages, alors G2 est égale à
-n.
  1. Pour tout entier k{1,...,n}, déterminer P( G2 =a-k).
  2. Vérifier : P( G2 =-n)=\dfracn-12(2n-1).
  3. Montrer :
    E( G2 )=\dfrac3(3n-1)a-(7 n2 -1)6(2n-1).
III Comparaison des deux protocoles

On suppose le jeu constitué de 32 cartes ( n=16). Déterminer, selon les valeurs de a, le protocole le plus favorable au joueur. Justifier la réponse.
  1. Soit a un entier strictement positif. On dispose d'un jeu usuel de 2n cartes ( n=16 ou 26) qui contient donc deux rois rouges, et on envisage deux jeux d'argent régis par les protocoles suivants.

    (EML 2000)



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On 18 May 2004, 00:01.