HEC maths II 2002

On appelle durée de vie d'un composant électronique la durée de fonctionnement de ce composant jusqu'à sa première panne éventuelle. On considère un composant électronique dont la durée de vie est modélisée par une variable aléatoire T définie sur un espace probabilisé ( Ω , , P ) , à valeurs dans + .
Si F est la fonction de répartition de cette variable aléatoire, on appelle loi de survie du composant la fonction D définie sur + par: t + , D ( t ) = 1 F ( t ) Le problème se compose de deux parties pouvant être traitées indépendamment.

Partie I : Cas discret

On suppose dans cette partie que T est une variable aléatoire à valeurs dans * qui vérifie, pour tout entier \break naturel n , D ( n ) \not?? = 0 .

  1. Coefficient d'avarie

    Le composant est mis en service à l'instant 0 . Pour tout entier naturel n non nul, on appelle coefficient d'avarie à l'instant n du composant, la probabilité qu'il tombe en panne à l'instant n , sachant qu'il fonctionne encore à l'instant n 1 , c'est-à-dire le nombre π n défini par l'égalité : π n = P ( [ T = n ] / [ T > n 1 ] )

    1. Exprimer, pour tout entier naturel non nul n , la probabilité P ( [ T = n ] ) à l'aide de la fonction D . En déduire l'égalité : π n = D ( n 1 ) D ( n ) D ( n 1 )

    2. On suppose que p est un réel de l'intervalle ] 0 , 1 [ et que T suit la loi géométrique de paramètre p .

      1. Quelle est l'espérance de la variable aléatoire T ?

      2. Calculer, pour tout entier naturel n , D ( n ) en fonction de n .

      3. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, l'égalité: π n = p .

    3. Réciproquement, on suppose dans cette question qu'il existe un réel strictement positif α tel que l'on a : n * , π n = α .

      1. Établir, pour tout entier naturel non nul n , l'égalité : D ( n ) = ( 1 α ) . D ( n 1 ) .

      2. En déduire que T suit une loi géométrique et préciser son paramètre.

  2. Nombre de pannes successives dans le cas d'une loi géométrique

    Un premier composant est mis en service à l'instant 0 et, quand il tombe en panne, est remplacé instantanément par un composant identique qui sera remplacé à son tour à l'instant de sa première panne dans les mêmes conditions, et ainsi de suite.

    On suppose à nouveau, dans cette partie, que p est un réel de l'intervalle ] 0 , 1 [ et que T suit la loi géométrique de paramètre p et que, pour tout entier strictement positif i , la durée de vie du i -ème composant est une variable aléatoire T i définie sur ( Ω , , P ) , de même loi que T .

    Les variables aléatoires T i sont supposées mutuellement indépendantes et, pour tout entier naturel k non nul, on pose : S k = i = 1 k T i .

    ( S k désigne donc l'instant où se produit la k -ième panne et le k -ième remplacement.)

    1. Soit m un entier naturel. Démontrer par récurrence sur n , pour tout entier naturel n vérifiant n m , l'égalité : j = m n C j m = C n + 1 m + 1 .

      1. Déterminer la loi de la variable aléatoire S 2 égale à T 1 + T 2 .

      2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul k , la loi de S k est donnée par : n k , P ( [ S k = n ] ) = C n 1 k 1 p k ( 1 p ) n k

    2. On dispose en PASCAL de la fonction RANDOM qui retourne un nombre de type REAL choisi au hasard dans l'intervalle [ 0 , 1 [ . Ainsi, si p est la probabilité de panne du composant à un instant donné, en faisant appel à la fonction RANDOM , on obtient une simulation informatique de cette panne dans le cas où le nombre retourné par cette fonction est strictement inférieur à p .

      1. Écrire une fonction PASCAL d'en-tête

        FUNCTION NbP(p:REAL; n:INTEGER): INTEGER;

        qui, connaissant le nombre réel p et un nombre entier strictement positif n , simule l'expérience et retourne le nombre de pannes survenues jusqu'à l'instant n .

      2. Écrire une procédure PASCAL d'en-tête

        PROCEDURE Arret(p:REAL; r:INTEGER);

        qui, connaissant le nombre réel p et un nombre entier strictement positif r , simule l'expérience en l'arrêtant dès que le nombre de pannes atteint le nombre r et affiche la valeur de \break l'instant n où l'arrêt s'est produit.

    3. Soit n un entier strictement positif. On note U n la variable aléatoire désignant le nombre de pannes (et donc de remplacements) survenues jusqu'à l'instant n inclus.

      1. Établir l'égalité P ( [ U n = 0 ] ) = ( 1 p ) n et calculer P ( [ U n = n ] ) .

      2. Exprimer, pour tout entier naturel non nul k , l'événement [ U n k ] à l'aide d'un événement faisant intervenir la variable aléatoire S k .

      3. En déduire que U n suit la loi binomiale de paramètres n et p .

    4. Dans cette question, le nombre p est égal à 1 200 .

      On considère alors un appareillage électronique utilisant simultanément 1000 composants identiques fonctionnant indépendamment les uns des autres et dont la durée de vie suit la même loi que T . À chaque instant, les composants en panne sont remplacés par des composants identiques comme précédemment.

      1. Préciser la loi de la variable aléatoire U désignant le nombre total de remplacements de composants effectués jusqu'à l'instant n égal à 100 inclus.

      2. On désire qu'avec une probabilité de 0 , 95 , le stock de composants de rechange soit suffisant jusqu'à l'instant n égal à 100 inclus. À combien peut-on évaluer ce stock ?

        On donne: 995 2 22 , 3 et, en désignant par Φ la fonction de répartition de la variable aléatoire normale centrée réduite, Φ ( 1 , 65 ) 0 , 95 .