HEC maths II 2002
On appelle durée de vie d'un composant
électronique la durée de fonctionnement de ce composant jusqu'à
sa première panne éventuelle. On considère un composant
électronique dont la durée de vie est modélisée par une
variable aléatoire
Si
Partie I : Cas discret
On suppose dans cette partie que
Coefficient d'avarie
Le composant est mis en service à l'instant
Exprimer, pour tout entier naturel non nul
On suppose que
Quelle est l'espérance de la variable aléatoire
Calculer, pour tout entier naturel
En déduire, pour tout entier naturel
Réciproquement, on suppose dans cette question qu'il existe un réel
strictement positif
Établir, pour tout entier naturel non nul
En déduire que
Nombre de pannes successives dans le cas d'une loi géométrique
Un premier composant est mis en service à l'instant
On suppose à nouveau, dans cette partie, que
Les variables aléatoires
(
Soit
Déterminer la loi de la variable aléatoire
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul
On dispose en PASCAL de la fonction RANDOM qui retourne un nombre de
type REAL choisi au hasard dans l'intervalle
Écrire une fonction PASCAL d'en-tête
FUNCTION NbP(p:REAL; n:INTEGER): INTEGER;
qui, connaissant le nombre réel
Écrire une procédure PASCAL d'en-tête
PROCEDURE Arret(p:REAL; r:INTEGER);
qui, connaissant le nombre réel
Soit
Établir l'égalité
Exprimer, pour tout entier naturel non nul
En déduire que
Dans cette question, le nombre
On considère alors un appareillage électronique utilisant
simultanément
Préciser la loi de la variable aléatoire
On désire qu'avec une probabilité de
On donne: