Corrigé CCIP 1996 option economique MATHEMATIQUES II par Pierre Veuillez

(Dans l'exemple introductif du banquier, n est égal à 10, X i représente le cours de l'action au jour de rang i , G 1 0 est égal au prix de la vente et L 1 0 est égal au rang du jour où a lieu la vente).

C'est cette phrase qui permet de comprendre et d'assimiler les notations.

Par exemple : si n = 1 la vente doit se faire dès le premier jour. D'où les valeurs de L 1 = 1 (vente le premier jour) et G 1 = X 1 (au cours du premier jour)

Si n 2 , et si pour tout i < n , X i < σ i : signifie que jusqu'à l'avant dernier jour, le cours est sous le seuil σ i , donc la vente se fait le dernier jour. Et L n = n et G n = X n cours du dernier jour.

Et sinon (il y a donc un jour avant le dernier ou le seuil est dépassé) L n = i i est le plus petit k tel que X k σ i : le plus petit signife que c'est le premier jour où le cours dépasse le seuil.

Préliminaire

Comme l'annoncé l'énnoncé, on peut traiter la majeure partie sans avoir trouvé la valeur de S k ( j )

L'énnoncé disait ''on pourra calculer pour celà ( 1 x ) S k ( x ) ''

On développe les calculs en faisant apparaître la partie commune qui se simplifie.

( 1 x ) S k ( x ) = ( 1 x ) j = 1 k j x j 1 = j = 1 k j x j 1 j = 1 k j x j  réindexé  i 1 = j = j = 1 k j . x j 1 i = 2 k + 1 ( i 1 ) . x i 1 = j = 1 k j . x j 1 i = 2 k + 1 i . x i 1 + i = 2 k + 1 x i 1 = 1 + j = 2 k j . x j 1 ( k + 1 ) . x k i = 2 k i . x i 1 + j = 1 k x j = 1 ( k + 1 ) . x k + x k + 1 1 x 1 1  car  x 1 = k x k + 1 + ( k + 1 ) x k 1 x 1

D'où S k ( x ) = k x k + 1 ( k + 1 ) x k + 1 ( x 1 ) 2 car x 1

I. Exemples d'expériences aléatoires discrètes.


Un problème ici est que les valeurs des X i ne sont pas données directement mais sous forme paramètrée : j r pour j [ [ 0 , r ] ]

  1. Première stratégie.

    On pose, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, σ 1 = 0 . On a donc, pour tout entier naturel n non nul, G n = X 1 et L n = 1

    Comme il y a r + 1 valeurs équiprobables, on a pour tout i [ [ 0 , r ] ] : p ( X 1 = i r ) = 1 r + 1

    Donc E ( G n ) = E ( X 1 ) = i = 0 r i r p ( X 1 = i r ) = i = 0 r i r . 1 r + 1 = r ( r + 1 ) 2 r ( r + 1 ) = 1 2

    Variante : on a aussi r X 1 𝒰 [ [ 0 , r ] ] donc E ( r X 1 ) = r + 0 2 et E ( X 1 ) = 1 2

  2. Deuxième stratégie,

    On pose, pour tout entier n supérieur au égal à 2 et pour tout i { 1 , \dots , n 1 } , σ i = 0 , 5

    1. Comme ( X 1 < 0 , 5 ) est réunion d'événements disjoints (chacune des valeurs possibles) de même porbabilité 1 / ( r + 1 ) , pour calculer P ( X 1 < 0 , 5 ) , il suffit de dénombrer les valeurs prises par i qui sont < 0 , 5 :

      On a j / r < 0 , 5 pour j ( r 1 ) / 2 et sinon, j / r > 0 , 5

      Donc l'inégalité est vérifiée pour les valeur de j de 0 à ( r 1 ) / 2.

      Il y en a donc ( r 1 ) / 2 0 + 1 = ( r + 1 ) / 2

      Donc P ( X 1 < 0 , 5 ) = r + 1 2 1 r + 1 = 1 2 (réunion d'événements disjoints)

      Et on a apour tous les autres jour la même probabilité.

    2. Si le gain a été inférieur à 1 / 2 ( seuil de vente), c'est que la vente s'est faite le dernier jour. Donc que le cour a toujours (sauf éventuellement le dernier) été inférieur à 1 / 2.

      Le cours du dernier jour est le cours de vente.

      Donc pour j / r < 1 / 2 : ( G = j r ) = i = 1 n 1 ( X i < 1 2 ) ( X n = j r ) Les évènements sont indépendants. P ( G = j r ) = i = 1 n 1 P ( X i < 1 2 ) . P ( X n = j r ) = ( 1 2 ) n 1 . 1 r + 1 = 2 ( r + 1 ) 2 n

      Si j r 1 2 , le gain est supérieur a pu être fait n'importe quel jour. (et donc auparavent, le cours était inférieur à 1 / 2 ).

      Donc pour j / r 1 / 2 : ( G = j r ) = k = 1 n ( i = 1 k 1 ( X i < 1 2 ) ( X k = j r ) ) ( k étant le jour de la vente). Réunion d'évènements disjoints donc P ( G = j r ) = k = 1 n P ( i = 1 k 1 ( X i < 1 2 ) ( X k = j r ) ) = k = 1 n 2 ( r + 1 ) 2 k = 2 r + 1 ( ( 1 / 2 ) n + 1 1 1 / 2 1 1 ) = 2 r + 1 ( 1 2 n 1 )

    3. Comme ce sont les seules valeurs possibles de G n , sa loi est bien donnée par : j { 0 , \dots , r 1 2 }        P ( G n = j r ) = 2 r + 1 1 2 n j { r + 1 2 , \dots , r }        P ( G n = j r ) = 2 r + 1 ( 1 1 2 n )

    4. Attention : bien repèrer les constantes . g n = j = 0 r j r P ( G = j r ) = j = 0 ( r 1 ) / 2 j r P ( G = j r ) + j = ( r + 1 ) / 2 r j r P ( G = j r ) = j = 0 ( r 1 ) / 2 j r . 2 ( r + 1 ) 2 n + j = ( r + 1 ) / 2 r j r . 2 r + 1 ( 1 1 2 n )  variable  j = 2 r ( r + 1 ) 2 n j = 0 ( r 1 ) / 2 j + 2 r ( r + 1 ) ( 1 1 2 n ) ( j = 0 r j j = 0 ( r 1 ) / 2 j ) = \not?? 2 r ( r + 1 ) [ r 1 2 . r + 1 2 \not?? 2 .2 n + ( 1 1 2 n ) ( r ( r + 1 ) \not?? 2 ( r 1 ) ( r + 1 ) \not?? 8 4 ) ] = 1 r ( r + 1 ) [ r 1 2 . r + 1 2 2 n + ( 1 1 2 n ) ( r ( r + 1 ) ( r 1 ) ( r + 1 ) 4 ) ] = 1 r [ ( r 1 ) 4 + ( 1 1 2 n ) r ] = ( 1 1 2 n ) r 1 4 r = 3 r + 1 4 r 1 2 n n 2 n est croissante à valeur dans + * . Donc n 1 / 2 n est décroissante et n 1 / 2 n est croissante. Donc la suite g est croissante.

      Comme 2 > 1 , 2 n + , et g n 3 r + 1 4 r quand n +

      Est-ce étonnant ?

      Quand n tend vers l'infini, il n'y a plus de jour limite pour la vente. Donc le gain se fait le premier jour où le cours est supérieur à 1 / 2.

      Donc toutes les valeurs de entre r + 1 2 r et r r sont équiprobables. Or la moyenne des valeurs des cours { r + 1 2 r , , 1 } est 1 + r + 1 2 r 2 = 3 r + 1 4 r .

      On pouvait donc prévoir ce résultat.

      Et quand r + on a g n 3 4 1 2 n

    5. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.

      ( L = n ) si le cours a toujours été inférieur à 1 / 2 avant le n i e ` m e jour. Donc ( L = n ) = i = 1 n 1 ( X i < 1 2 ) et (indépendance) P ( L = n ) = 1 2 n 1

      Pour j { 1 , \dots , n 1 } :

      ( L = j ) si le cours au jour j est supérieur à 1 / 2 et que auparavant il était inférieur.

      Donc ( L = j ) = i = 1 j 1 ( X i < 1 2 ) ( X j 1 2 ) et (indépendance) P ( L = j ) = 1 2 j .

      Pour calculer l'espérance, il faut isoler la valeur j = n des autres et donc découper la somme :

      l n = j = 0 n j . P ( L = j ) = j = 0 n 1 j . P ( L = j ) + n 2 n 1 = j = 0 n 1 j 2 j + n 2 n 1 = 1 2 j = 0 n 1 j 2 j 1 + 2 n ( 1 2 ) n = 1 2 S n 1 ( 1 2 ) 0 + 2 n ( 1 2 ) n = 1 2 ( n 1 ) ( 1 2 ) n n ( 1 2 ) n 1 + 1 ( 1 2 ) 2 + 2 n ( 1 2 ) n = 2 [ ( n 1 ) ( 1 2 ) n 2 n ( 1 2 ) n + 1 ] + 2 n ( 1 2 ) n = 2 2 ( 1 2 ) n Donc l n = 2 2 ( 1 2 ) n 2 quand n +

      (moyenne de la loi géométrique de paramètre 1 / 2 quand on ne vend qu'audesus de 1/2)

  3. Troisième stratégie.

    On pose, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 et pour tout i { 1 , \dots , n 1 } , σ i = 1 .

    1. Le principe est le même que pour le 2.a) :

      • si j / r < 1 , ( G n = j / r ) n'a pu être réalisé que le dernier jour. Donc: ( G n = j r ) = i = 1 n 1 ( X i < 1 ) ( X n = j r ) P ( G n = j r ) = ( r r + 1 ) n 1 1 r + 1

      • ( G n = 1 ) peut être obtenu n'importe quand.

        ( G n = 1 ) = k = 1 n ( i = 1 k 1 ( X i < 1 ) ( X k = j r ) ) P ( G n = 1 ) = k = 1 n P ( i = 1 k 1 X i < 1 ) P ( X k = 1 ) = k = 1 n ( r r + 1 ) k 1 1 r + 1 = 1 r + 1 j = 0 n 1 ( r r + 1 ) j = 1 r + 1 ( r r + 1 ) n 1 r r + 1 1 = 1 ( r r + 1 ) n .

      d'où la loi de G n : G n ( Ω ) = { 0 r \dots , r r }

      et P ( G n = 1 ) = 1 ( r r + 1 ) n et P ( G n = j r ) = ( r r + 1 ) n 1 1 r + 1 = 1 r ( r r + 1 ) n sinon

    2. On doit metter à part la valeur G n = 1 :

      g n = j = 0 r j r p ( G = j r ) = j = 0 r 1 j r 1 r ( r r + 1 ) n + 1 ( r r + 1 ) n = ( r r + 1 ) n 1 r 2 r ( r 1 ) 2 + 1 ( r r + 1 ) n = 1 + ( r r + 1 ) n ( r 1 2 r 1 ) = 1 1 2 ( r r + 1 ) n 1 Comme 0 < r r + 1 < 1 , alors n ( r r + 1 ) n 1 est décroissante et la suite g est donc croissante.

      Comme | r r + 1 | < 1 , alors g 1 quand n +

      Celà était prévisible : Si on peut attendre indéfiniment ( n + ) d'avoir un gain de 1 , le gain sera de 1 et donc le gain moyen sera de 1.

      Quand r + alors g n 1 / 2 (quand on se rapproche d'une distributuion continue)

    3. On a comme précédemment : ( L = n ) = i = 1 n 1 ( X i < 1 ) et (indépendance) P ( L = n ) = ( r r + 1 ) n 1 Pour j < n : ( L = j ) = i = 1 j 1 ( X i < 1 ) ( X j = 1 ) et P ( L = j ) = ( r r + 1 ) j 1 1 r + 1 d'où : l n = j = 0 n j . P ( L = j ) = j = 0 n 1 j . P ( L = j ) + n ( r r + 1 ) n 1 = j = 0 n 1 j ( r r + 1 ) j 1 1 r + 1 + n ( r r + 1 ) n 1 = 1 r + 1 S n 1 ( r r + 1 ) + n ( r r + 1 ) n 1 = 1 r + 1 ( n 1 ) ( r r + 1 ) n n ( r r + 1 ) n 1 + 1 ( r r + 1 1 ) 2 + n ( r r + 1 ) n 1 = ( r + 1 ) [ ( n 1 ) ( r r + 1 ) n n r + 1 r ( r r + 1 ) n + 1 ] + n r + 1 r ( r r + 1 ) n = ( r r + 1 ) n ( r + 1 ) [ n 1 n r + 1 r + n r ] + ( r + 1 ) = ( r r + 1 ) n ( r + 1 ) + ( r + 1 ) = ( r + 1 ) [ 1 ( r r + 1 ) n ] Quand n + on a ( r r + 1 ) n 0 car | r r + 1 | < 1 et n r + 1

      Quand r + on a r r + 1 1 et ( r r + 1 ) n 1 d'où une forme indéterminée

      On pose h = r r + 1 1 = 1 r + 1 0 et on a ( 1 + h ) n 1 n h quand h 0 donc ( r + 1 ) [ 1 ( r r + 1 ) n ] = 1 h [ ( 1 + h ) n 1 ] n h h n

      donc n n quand r tend vers + avec n fixé.

      Ici, le seul cas où la vente se fait avant n est X i = 1 , dont la probabiliité tend vers 0 quand r + .

      Donc la vente se fera le dernier jour L n = n quand r +

      On pouvait donc s'y attendre.

  4. Comparer brièvement les trois stratégies de la partie I .

    On compare la méthode qui donne en moyenne le gain le plus important :

    Quand on a le temps d'attendre, ( n + ) la dernièreméthode donnra la plus grand espérance de gain.

    Pour n fixé, et un modèle réaliste ( r + , grand nnombre de valeurs possibles pour le cours) c'est alors la méthode 2 qui donnera le meilleur gain (proche de 3/4)

    La méthode 1 de vente dès le premier jour donnant en moyenne toujours le moins bon résultat.

II. Exemples d'expériences aléatoires continues


Dans cette partie, on suppose que, pour tout entier naturel non nul i , la variable aléatoire X i suit une loi de probabilité uniforme sur [ 0 , 1 ] ; elle admet donc une densité ϕ définie par : t [ 0 , 1 ] : ϕ ( t ) et sinon ϕ ( t ) = 0

On dit que les variables, ( X i ) i 1 sont indépendantes si et seulement si, pour tout entier naturel n non nul et pour tout ( t 1 , \dots , t n ) n , les événements ( X 1 t 1 ) , \dots , ( X n t n ) sont mutuellement indépendants ; on a alors, pour tout ( t 1 , \dots , t n ) n , P ( i = 1 n ( X i t i ) ) = i = 1 n P ( X i t i ) .

(Les variables étant des variables à densité, les égalités ci-dessus sont encore vraies si on remplace ( X i t i ) par ( X i < t i ) )

  1. Soit f la desnité de X 1 . On a F 1 ( x ) = P ( X 1 x ) = x f ( t ) t

    donc F 1 ( x ) = 0 si x < 1. Si x [ 0 , 1 ] on a F 1 ( x ) = 0 0 t + 0 x 1 t = x et si x > 1 on a F 1 ( x ) = 1

  2. Première stratégie

    On pose, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, σ 1 = 0

    On a alors G n = X 1 puisque P ( X 1 < 0 ) = 0. et g n = E ( G n ) = E ( X 1 ) = 1 2 espérance d'une loi uniforme.

  3. Deuxième stratégie

    Soit un réel α [ 0 , 1 [ . On pose, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 et pour tout i { 1 , \dots , n 1 } , σ i = α

    1. On a :

      • Pour t < 0 on a F n ( t ) = P ( G n t ) = 0 car G n prend la valeur d'une des X i et P ( X i < 0 ) = 0

      • Pour t 1 on a F n ( t ) = p ( G n t ) = 1 car P ( X i 1 ) = 1 pour tout i .

      • Pour t [ 0 , α [ : comme t < σ i , ( G n t ) implique que la vente s'est faite sous le seuil donc qu'elle n'a pu se faire que le dernier jour.

        Tous les vours précédents értaient donc sous le seuil.

        donc ( G n t ) = i = 1 n 1 ( X i < α ) ( X n t ) et F n ( t ) = P ( G n t ) = α n 1 t par indépendance.

      • Pour t [ α , 1 [ si G n > t , la vente s'est faite audessus du seuil et a pu se faire n'importe quel jour, à un cours > t

        ( G n > t ) = k = 1 n ( i = 1 k 1 ( X i < α ) ( X k > t ) ) incompatibles P ( G n > t ) = k = 1 n α k 1 ( 1 F 1 ( t ) )  par indépendance = ( 1 t ) h = 0 n 1 α k 1 = ( 1 t ) α n 1 α 1

        finalement F n ( t ) = p ( G n t ) = 1 p ( G n > t ) = 1 ( 1 t ) α n 1 α 1 si t [ α , 1 [

      Pour prouver que G n est à densité, on a sa fonction de répartition qui est

      • C 1 sur { 0 , α , 1 }

      • continue sur ] , 0 [ F n ( t ) = 0 , sur [ 0 , α [ F n ( t ) = α n 1 t , sur [ α , 1 [ F n ( t ) = 1 ( 1 t ) α n 1 α 1 et enfin sur [ 1 , + [ F n ( t ) = 1

        Reste à prouver la continuité en

      • 0 : On a F n ( 0 ) = 0 α n 1 = 0 et pour t < 0 : F n ( t ) = 0 0 = F n ( 0 ) donc F n est continue en 0 donc en 0

      • α : On a F n ( α ) = 1 ( 1 α ) α n 1 α 1 = α n et pour 0 t < α : F n ( t ) = α n 1 t α n = F n ( α ) donc F n est continue en α donc en α

      • 1 : On a F n ( 1 ) = 1 et pour α t < 1 : F n ( t ) = 1 ( 1 t ) α n 1 α 1 1 = F n ( 1 ) donc F n est continue en 1 donc en 1

      Finalement G n est bien à densité et une densité est F n là où elle est dérivable :

      t [ 0 , α [ : f n ( t ) = α n 1 ,      t [ α , 1 ] : f n ( t ) = 1 α n 1 α ,      et   f n ( t ) = 0      sinon

    2. On a (elle converge et ) g n = + t f n ( t ) t = 0 1 t f n ( t ) t = 0 α t α n 1 t + α 1 t 1 α n 1 α t = α n 1 α 2 2 + 1 α n 1 α 1 2 ( 1 2 α 2 ) = α n + 1 2 + 1 α n 2 ( 1 + α ) = 1 2 ( 1 + α α n ) Pour fixé, comme 0 < α < 1 alors n α n est décroissante et g est donc croissante

      Quand n + on a g n 1 2 ( 1 + α ) .

      Comme le temps d'attente n'est plus borné, la vente se fait à un prix entre α et 1 , la densité étant équirépartie sur cet intervalle.

      On retrouve la la moyenne d'unhe loi uniforme sur [ α , 1 ]

    3. Commme précédemment on distingue L n = n de L n = j pour j < n :

      • ( L = n ) = i = 1 n 1 ( X i < α ) et (indépendance) P ( L = n ) = α n 1

      • Pour j < n : ( L n = j ) = i = 1 j 1 ( X i < α ) ( X j α ) et P ( L = j ) = α j 1 ( 1 α ) et

      n = j = 1 n j . P ( L = j ) = j = 1 n 1 j . P ( L = j ) + n α n 1 = j = 1 n 1 j α j 1 ( 1 α ) + n α n 1 = ( 1 α ) S n 1 ( α ) + n α n 1 = ( 1 α ) ( n 1 ) α n n α n 1 + 1 ( α 1 ) 2 + n α n 1 = α n 1 α 1 : α n n α n α α ( α 1 ) 1 α 1 + n α n 1 = α n α 1 n + α n α ( α 1 ) n + α n α 1 1 α 1 + n α n α = α n 1 α 1

    4. Dans cette question α = 0 , 5

      on a alors : g n = p 3 4 ( 1 2 ) n + 1 et n = 2 2 ( 1 2 ) n

      On retrouve les limites quand r + . issues de la loi uniforme discrète.

      Quand on subdivise plus finnement l'interavalle, la répartition uniforme discrète se rapproche de la répartition uniforme continue.

- FIN -