CCIP 1996

option economique

MATHEMATIQUES II




Un banquier s'est imposé de vendre une action en dix jours ouvrables. Chaque jour, suivant le cours du jour, il décide de vendre ou d'attendre dans l'espoir de vendre mieux plus tard. S'il n'a pas réalisé la vente au neuvième jour, il s'impose de vendre son action au dixième jour. Quelle stratégie va-t-il choisir?

Le problème ci-dessous propose, dans un cadre théorique précis, d'évaluer diverses stratégies pour de tels choix en chaîne.

On considère une suite d'expériences aléatoires identiques et indépendantes, à laquelle on associe une suite ( X i ) i 1 de variables aléatoires, définies sur un espace de probabilité ( Ω , 𝒜 , P ) , indépendantes et toutes de même loi.

On considère un entier naturel non nul n .

Si n est égal à 1, on définit le gain G 1 par: G 1 = X 1 et le temps d'attente L 1 par L 1 = 1 .

Si n est supérieur ou égal à 2, on se donne pour chaque i { 1 , \dots , n 1 } , un seuil σ i ; et on définit le gain G n par et le temps d'attente L n par :

Le gain G n est une variable aléatoire dont l'espérance est notée g n .

Le temps d'attente L n est une variable aléatoire dont l'espérance est notée n

(Dans l'exemple introductif du banquier, n est égal à 10, X i représente le cours de l'action au jour de rang i , G 1 0 est égal au prix de la vente et L 1 0 est égal au rang du jour où a lieu la vente).

On étudie, en partie I trois stratégies dans le cas d'expériences aléatoires discrètes et en partie II, deux stratégies dans le cas d'expériences aléatoires continues. Le préliminaire sera utilisé en I.2, I.3 et II.3.

Les parties I et II sont dans une large mesure indépendantes.




Préliminaire


Soit x un réel de [ 0 , 1 [ et soit k un entier naturel non nul, on pose S k ( x ) = j = 1 k j x j 1

Calculer S k ( x ) en fonction de x et de k ( On pourra considérer ( 1 x ) S k ( x ) ).




I. Exemples d'expériences aléatoires discrètes.


Dans cette partie r est un entier impair, supérieur ou égal à 3, et on suppose que, pour tout i entier naturel non nul, la variable aléatoire X i est discrète et équirepartie sur l'ensemble { 0 , 1 r , 2 r , \dots , r r } (chacune des r + 1 valeurs étant prise avec la même probabilité).

  1. Première stratégie.

    On pose, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, σ 1 = 0 . On a donc, pour tout entier naturel n non nul, G n = X 1 et L n = 1

    Calculer l'espérance g n de la variable aléatoire G n (On rappelle que j = 1 k j = k ( k + 1 ) 2 )

  2. Deuxième stratégie,

    On pose, pour tout entier n supérieur au égal à 2 et pour tout i { 1 , \dots , n 1 } , σ i = 0 , 5

    1. Calculer P ( X 1 < 0 , 5 ) .

    2. Exprimer, en fonction des variables X 1 , \dots , X n , l'événement ( G n = j r )
      pour j { 0 , \dots , r 1 2 } , puis pour j { r + 1 2 , \dots , r }

      En déduire que la loi de G n est donnée par : j { 0 , \dots , r 1 2 }        P ( G n = j r ) = 2 r + 1 1 2 n j { r + 1 2 , \dots , r }        P ( G n = j r ) = 2 r + 1 ( 1 1 2 n )

    3. Calculer g n . Montrer que la suite ( g n ) n 1 est croissante.

      Déterminer la limite de g n quand n tend vers + avec r fixé. Pouvait-on prévoir ce résultat ?

      Déterminer la limite de g n quand r tend vers + avec n fixé.

    4. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.

      Calculer P ( L n = n ) . Montrer que j { 1 , \dots , n 1 } : P ( L n = j ) = 1 2 j

      Calculer l'espérance n de L n

      Déterminer la limite de n quand n tend vers + avec r fixé.

  3. Troisième stratégie.

    On pose, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 et pour tout i { 1 , \dots , n 1 } , σ i = 1 .

    1. Exprimer, en fonction des variables X 1 , \dots , X n l'événement ( G n = j r ) pour j { 0 , \dots , r 1 }

      En déduire la loi de G n

    2. Calculer g n Montrer que la suite ( g n ) n 1 est croissante.

      Déterminer la limite de g n quand n tend vers + avec r fixé. Pouvait-on prévoir ce résultat ?

      Déterminer la limite de g n quand n tend vers + avec n fixé.

    3. Calculer l'espérance n de L n

      Déterminer la limite de n quand n tend vers + avec r fixé.

      Déterminer la limite de n , quand r tend vers + avec n fixé. Pouvait-on prévoir ce résultat ?

  4. Comparer brièvement les trois stratégies de la partie I .




II. Exemples d'expériences aléatoires continues


Dans cette partie, on suppose que, pour tout entier naturel non nul i , la variable aléatoire X i suit une loi de probabilité uniforme sur [ 0 , 1 ] ; elle admet donc une densité ϕ définie par : t [ 0 , 1 ] : ϕ ( t ) et sinon ϕ ( t ) = 0

On dit que les variables, ( X i ) i 1 sont indépendantes si et seulement si, pour tout entier naturel n non nul et pour tout ( t 1 , \dots , t n ) n , les événements ( X 1 t 1 ) , \dots , ( X n t n ) sont mutuellement indépendants ; on a alors, pour tout ( t 1 , \dots , t n ) n , P ( i = 1 n ( X i t i ) ) = i = 1 n P ( X i t i ) .

(Les variables étant des variables à densité, les égalités ci-dessus sont encore vraies si on remplace ( X i t i ) par ( X i < t i ) )

  1. Déterminer F 1 la fonction de répartition de X 1 .

  2. Première stratégie

    On pose, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, σ 1 = 0

    Calculer l'espérance g n de la variable aléatoire G n

  3. Deuxième stratégie

    Soit un réel α [ 0 , 1 [ . On pose, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 et pour tout i { 1 , \dots , n 1 } , σ i = α

    1. On note F n la fonction de répartition de G n

      Que vaut F n ( t ) pour t n'appartenant pas à [ 0 , 1 [ ?

      Pour t [ 0 , α [ décrire l'événement ( G n t ) et en déduire F n ( t )

      Pour t [ α , 1 [ décrire l'événement ( G n > t ) et en déduire F n ( t )

      Montrer que G n admet une densité f n définie par :

      t [ 0 , α [ : f n ( t ) = α n 1 ,      t [ α , 1 ] : f n ( t ) = 1 α n 1 α ,      et   f n ( t ) = 0      sinon

    2. Calculer g n en fonction de α . Montrer que la suite ( g n ) n 1 est croissante.

      Déterminer la limite de g n quand n tend vers + . Pouvait-on prévoir ce resultat ?

    3. Déterminer la loi L n . Calculer n

    4. Dans cette question α = 0 , 5

      Calculer g n et n

      Quelle remarque peut-on faire en comparant ces résultat avec ceux de la deuxième stratégie de la partie I ?

- FIN -