Corrigé (EML 1998) par Pierre Veuillez

  1. On note N V la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première boule verte, et N B la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première boule blanche. On notera q = 1 p

    1. N V est le nombre de tirage nécessaire dans une suite de tirage indépendants qui ont tous la même probabilité p de donner V pour obtenir la première boule verte.

      Donc N V 𝒢 ( p ) et de même N B 𝒢 ( 1 p )

    2. Elle ne sont pas indépendantes car on commence par verte ou par blanche.

      Donc p ( N V = 1 N B = 1 ) p ( N V = 1 ) p ( N B = 1 )

      ( X = i ) signifie que les i premières boules sont vertes et qu'ensuite viennenet des blanches, ou inversement.

      Donc que la première blanche ou la première verte est au i + 1 e ` m e tirage.

      ( X = i ) = ( N V = i + 1 ) ( N B = i + 1 ) les deux étant incompatibles. Donc p ( X = i ) = p ( N V = i + 1 ) + p ( N B = i + 1 ) = q i p + p i q pour tout i *

      X est la longueur de la première liste monocolore.

    3. X a une espérance si la série i 1 i p ( X = i ) converge absolument.

      Comme tous les termes sont positif, celà équivaut à la convergence. i = 1 n i p ( X = i ) = i = 1 n i ( q i p + p i q ) = i = 1 n i q i p + i = 1 n i p i q = p i = 0 n i q i 0 + q i = 0 n i p i 0 p q ( 1 q ) 2 + q p ( 1 p ) 2 = q p + p q la convergence est due à | p | < 1 et | q | < 1 et on a bien E ( X ) = p 1 p + 1 p p .

    4. Soit f ( p ) = p 1 p + 1 p p . f est dérivable sur ] 0 , 1 [ et f ( p ) = 1 p + p ( 1 p ) 2 + p 1 + p p 2 = 1 + 2 p ( 1 + p ) 2 p 2

      qui est donc du signe de 1 + 2 p .

      f est donc décroissante sur ] 0 , 1 / 2 ] et croissante sur [ 1 / 2 , 1 [ .

      E ( X ) est donc minimale lorsque p = 1 2 ; cette valeur minimale est : E min = 2 .

  2. Pour tout ( i , j ) de ( n * ) 2 :

    ( X = i et Y = j ) signifie que l'on a i blanches puis j vertes puis une blanche (pour que les verttes s'arrètent) ou inversement.

    Comme les deux cas sont incompatibles et que les tirages sont indépendants, P ( X = i  et  Y = j ) = p i q j p + q i p j q = p i + 1 ( 1 p ) j + ( 1 p ) i + 1 p j

    1. La loi de la variable aléatoire Y est alors la loi marginale du couple : pour tout j * p ( Y = j ) = i = 1 + p ( X = i Y = j ) i = 1 n ( p i + q j + q i + 1 p j ) = p q j i = 1 n p i + q p j i = 1 n q i = p q j ( i = 0 n p i 1 ) + q p j ( i = 0 n q i 1 ) p q j ( 1 ( 1 p ) 1 ) + q p j ( 1 ( 1 q ) 1 ) = p 2 q j q + q 2 p j p donc  p ( Y = j ) = p 2 q j 1 + q 2 p j 1 = p 2 ( 1 p ) j 1 + ( 1 p ) 2 p j 1

    2. Y a une espérance si la série suivante est absolument convergente=convergente car touts les termes sont positifs. On calcule la somme partielle : i = 1 n j p ( Y = j ) = i = 1 n j ( p 2 q j 1 + q 2 p j 1 ) = p 2 q i = 1 n j q j + q 2 p i = 1 n j p j = p 2 q i = 0 n j q j 0 + q 2 p i = 0 n j p j 0 p 2 q q ( 1 q ) 2 + q 2 p p ( 1 p ) 2 = 2 Donc Y a une espérance et E ( Y ) = 2 ... elle ne dépend pas de p contrairement à celle de X

    1. Pour montrer qu'elles ne sont pas indépendantes, il suffit de trouver un contre exemple :

      p ( X = 1 Y = 1 ) = p 2 ( 1 p ) + ( 1 p ) 2 p = p ( 1 p )

      p ( X = 1 ) = p q + p q = 2 p ( 1 p ) et p ( Y = 1 ) = p 2 + ( 1 p ) 2 = 2 p 2 2 p + 1

      D'où p ( X = 1 ) p ( Y = 1 ) = 2 p ( 1 p ) ( 2 p 2 2 p + 1 ) . On ne peut pas dire que pour q donné celà est différent de p ( X = 1 Y = 1 ) , mais seulement que les fonctions sont différentes. Elles peuvent coïncider pour certaiens valeurs. (ce que dit d'ailleurs la suite)

      On calcule donc la différence : p ( X = 1 ) p ( Y = 1 ) p ( X = 1 Y = 1 ) = 2 p ( 1 p ) ( 2 p 2 2 p + 1 ) p ( 1 p ) = p ( 1 p ) [ 4 p 2 4 p + 2 1 ] = p ( 1 p ) [ 4 p 2 4 p + 1 ]

      Comme p ] 0 , 1 [ , les deux premiers termes sont non nuls. Le dernier est du second degré et a pour racine double 1 / 2

      Donc si p 1 / 2 les deux quantités ne sont pas égales et les variables X et Y ne sont pas indépendantes.

    2. Par contre, pour démontrer l'indépendance, il faut que les deux soient égales pour tout ( i , j ) * 2

      Pour p = 1 / 2 la loi de X est : p ( X = i ) = 2 ( 1 / 2 ) i + 1 = ( 1 / 2 ) i

      Celle de Y est : p ( Y = j ) = ( 1 / 2 ) j

      Celle du couple : P ( X = i  et  Y = j ) = 2 ( 1 / 2 ) i + j + 1 = ( 1 / 2 ) i + j

      On a donc bien pour tout ( i , j ) * 2 : P ( X = i  et  Y = j ) = p ( X = i ) p ( Y = j )

      Les variables aléatoires X et Y sont donc bien indépendantes.

(EML 1998)