(EML 1998)

Une urne contient des boules vertes et des boules blanches, indiscernables au toucher. La proportion de boules vertes est p , 0 < p < 1 ; la proportion de boules blanches est 1 p .


On effectue une suite de tirages successifs d'une boule avec remise. (Toute boule tir\ee de l'urne y est remise avant de proc\eder au tirage suivant.)

  1. On note N V la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première boule verte, et N B la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première boule blanche.

    1. Quelles sont les lois des variables aléatoires N V et N B ?

    2. Les variables aléatoires N V et N B sont-elles indépendantes ?




    On définit le couple de variables aléatoires ( X , Y ) à valeurs dans ( * ) 2 de la façon suivante :

    pour tout ( i , j ) ( * ) 2 , ( X = i et Y = j ) est l'événement :

    '' les i premières boules tirées sont blanches, les j suivantes sont vertes et la ( i + j + 1 ) i e m e est blanche

    ou

    les i premières boules tirées sont vertes, les j suivantes sont blanches et la ( i + j + 1 ) i e m e est verte''




    Par exemple, pour la suite de tirages B B B V V B V B B (où V est mis pour vert et B pour blanc), on a X = 3 et Y = 2 .

    1. Déterminer la loi de la variable aléatoire X .

    2. Montrer que la variable aléatoire X admet une espérance et que E ( X ) = p 1 p + 1 p p .

    3. Montrer que E ( X ) est minimale lorsque p = 1 2 , et calculer cette valeur minimale.

  2. Montrer, pour tout ( i , j ) de ( n * ) 2 : P ( X = i  et  Y = j ) = p i + 1 ( 1 p ) j + ( 1 p ) i + 1 p j

    1. En déduire la loi de la variable aléatoire Y .

    2. Montrer que la variable aléatoire Y admet une espérance que l'on calculera.

    1. Etablir que, si p 1 2 , les variables aléatoires X et Y ne sont pas indépendantes

      (on pourra envisager P ( X = 1 et Y = 1 ) ).

    2. Démontrer que, si p = 1 2 , les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.

(EML 1998)