Corrigé ESCP 1996 par Pierre Veuillez

On note l'ensemble des entiers naturels et * l'ensemble des entiers strictement positifs

Une urne contient des boules blanches, noires et rouges. Les proportions respectives de ces boules sont p pour les blanches, q pour les noires et r pour les rouges ( p + q + r = 1 )

On fait dan cette urne des tirages successifs indépendants umérotés 1, 2, ... etc. Ces tirages sont faits avec relise de la boule tirée. Les proportions des boules restent ainsi les mêmes au cours de l'expérience.

Toutes les variables aléatoires sont définies dans un espace de probabilité ( Ω , 𝒜 , P )

  1. On note X 1 la variable aléatoire représentant le numéro du tirage auquel une boule blanche sort pour la prenrière fois. Trouver la loi de probabilité de X 1 ; calculer son espérance et sa variance.

    X 1 est le rang de la première boule blanche dans une suite de tirage indépdendants dont la probabilité est p à chaque tirage.

    Conclusion :

    X 𝒢 ( p ) et on a E ( X ) = 1 p et V ( X ) = 1 p p 2

  2. On note X 2 la variable aléatoire représentant le numéro du deuxième tirage d'une boule blanche.

    1. On décompose l'événement :

      { X 1 = k , X 2 = k + l } la premièer blanche en k (et pas avant ) et la seconde en k + l

      { X 1 = k , X 2 = k + l } = B 1 \dots B k 1 B k \dots B k + l

      les tirages étant indépendants, on a alors P ( X 1 = k , X 2 = k + l ) = ( 1 p ) k + l 2 p 2 (on a 2 fois la probabilité de blanche et les autres fois c'est pas blanche)

      La loi de X 2 est alors obtenue comme loi marginale : P ( X 1 = k X 2 = i ) = ( 1 p ) i 2 p 2 si i > j et 0 sinon.

      X 2 ( Ω ) = [ [ 2 , + [ [ et pour tout i 2 : P ( X 2 = i ) = k = 1 + P ( X 1 = k X 2 = i ) = k = 1 i 1 P ( X 1 = k X 2 = i ) + k = i + P ( X 1 = k X 2 = i ) = k = 1 i 1 ( 1 p ) i 2 p 2 + 0  constante ! = ( i 1 ) ( 1 p ) i 2 p 2 k = 1 i 1 ( 1 p ) i 2 p 2

    2. U 2 est le temps d'attente de la seconde boule blanche après la première.

      Comme les tirages sont indépendants les uns des autres, il est indépendant de l'instant où l'on a obtenu la première boule.

      Et c'est le nombre de tirages pour obtenir la première balnche suivant la premièer dans des tirages indépendants donc U 2 𝒢 ( p )

      N.B. Il est plus rigoureux de le prouver par le calcul ....

      P ( U 2 = i X 1 = j ) = P ( X 2 = i + j X 1 = j ) = ( 1 p ) i + j 2 p 2 = \dots = P ( U 2 = i ) P ( X 1 = j ) ?

      Et pour obtenir la loi de U 2 , on repasse par la loi du couple :

      P ( U 2 = i ) = j = 1 + P ( U 2 = i X 1 = j ) = j = 1 + ( 1 p ) i + j 2 p 2 = ( 1 p ) i 2 p 2 [ j = 0 + ( 1 p ) j 1 ] = ( 1 p ) i 2 p 2 [ 1 p 1 ] = ( 1 p ) i 1 p

      et on a donc bien P ( U 2 = i X 1 = j ) = P ( U 2 = i ) P ( X 1 = j ) pour tout i et j avec U 2 𝒢 ( p )

      On a donc X 2 = X 1 + U 2 et E ( X 2 ) = E ( X 1 ) + E ( U 2 ) = 2 p

      Et comme U 1 et X 1 sont indépendantes, V ( X 2 ) = V ( X 1 ) + V ( U 2 ) = 2 ( 1 p ) p 2

  3. On note W la variable aléatoire représentant le nombre de boules rouges tirées avant l'obtention de la première boule blanche.

    Quand X 1 = k , W est le nnombre de boules rouges obtenues en k 1 tirages indépendants parmi les boules rouges et noires. (on sait que l'on obtient pas encore la blanche)

    La proportion de rouges est r q + r donc W / X 1 = k ( k 1 , r q + r )

    Donc P X 1 = k ( W = l ) = 0 si l > k 1 et = ( k 1 l ) ( r q + r ) l ( q q + r ) k 1 l si 0 l k 1

  4. On note Y 1 la variable aléatoire représentant le numéro du tirage auquel une boule noire sort pour la première fois.

    1. Pour déterminer la loi du couple ( X 1 , Y 1 ) , on distingue suivant la boule qui arrive en prmeier :

      • Si i < j alors ( X 1 = i X 2 = j ) = ''rouge du premier au i 1 e ` m e , puis blanche au i e ` m e , puis pas noire du i + 1 e ` m e au j 1 e ` m e puis noire au j e ` m e ''

        La probabilité de rouge est r . Celle de blanc est p celle de ''pas noire'' est ( 1 q ) e tcelle de noire est q , à chaque tirage.

        Les tirages étant indépendants,

        P ( X 1 = i X 2 = j ) = r i 1 p ( 1 q ) j 1 ( i + 1 ) + 1 q = p q r i 1 ( 1 q ) j i 1

        (on vérifie que le total des puissances est j )

      • De même si i > j alors P ( X 1 = i X 2 = j ) = p q r j 1 ( 1 p ) i j 1

      • et si i = j alors P ( X 1 = i X 2 = i ) = 0 car on ne peut pas avoir une blanche et une noire au même tirage.

      et les variables aléatoires X 1 et Y 1 ne sont donc pas indépendantes car = 0

      alors que P ( X 1 = 1 ) = p et P ( X 2 = 1 ) = q donc P ( X 1 = 1 X 2 = 1 ) P ( X 1 = 1 ) P ( X 2 = 1 )

    2. On se place, pour cette question, dans le cas particulier où r = 0 (c'est à dire qu'il n'y a pas de boule rouge).

      Quand r = 0 , le premier tirage donne soit une rouge soit une noire. Donc

      • si i = 1 et j > 1 : P ( X 1 = 1 X 2 = j ) = p j 1 q

      • si i > 1 et j = 1 : P ( X 1 = 1 X 2 = j ) = q i 1 p

      • et sinon P ( X 1 = 1 X 2 = j ) = 0

      E ( X 1 Y 1 ) = i = 1 + j = 1 + i j P ( X 1 = i X 2 = j ) = i = 1 + i j = 1 + j P ( X 1 = i X 2 = j ) = 1 [ j = 2 + j P ( X 1 = 1 X 2 = j ) + 0 ]  pour  i = 1 + i = 2 + i [ 1 P ( X 1 = i X 2 = 1 ) + j = 2 + j P ( X 1 = i X 2 = j ) ] = j = 2 + j p j 1 q + i = 2 + i q i 1 p = q [ 1 ( 1 p ) 2 1 ] + p [ 1 ( 1 q ) 2 1 ]  avec  q = 1 p = q [ 1 q 2 1 ] + p [ 1 p 2 1 ] = 1 q q + 1 p p = 1 p + 1 q 1 = p + q p q 1 = 1 p q 1

      et E ( X 1 ) = 1 p et E ( Y 1 ) = 1 q donc c o v ( X 1 , X 2 ) = E ( X 1 Y 1 ) E ( X 1 ) E ( Y 1 ) = 1

      ce qui n'est pas étonnant puisque la valeur de X 1 détermine celle de Y 1 : elles sont absolument corrélées.

  5. Soit, pour n entier strictement positif, Z n la variable aléatoire qui prend la valeur + 1 si au n i e ` m e tirage une boule blanche est tirée, 1 si au n i e ` m e tirage une boule noire est tirée, 0 si au n i e ` m e tirage une boule rouge est tirée. On note S n = Z 1 + \dots + Z n

    1. On a S 1 = Z 1 et a pour loi :

      k 1 : N 0 : R 1 : B
      P ( S 1 = k ) q r p
      k P ( S 1 = k ) q 0 p p q = E ( S 1 )
      k 2 P ( S 1 = k ) q 0 p p + q = 1 = E ( S 1 2 )

      D'où : E ( S 1 ) = p q et V ( S 1 ) = E ( S 1 2 ) E ( S 1 ) 2 = 1 ( p q ) 2

      Comme tous les Z i ont la même loi, ils ont même espérance et variance et

      E ( S n ) = i = 1 n E ( Z i ) = n ( p q )

      Comme ils sont de plus indépendants, V ( S n ) = i = 1 n V ( Z i ) = n n ( p q ) 2

    2. Soit t un réel strictement positif. On pose V n = t S n .

      On a V 1 = t S 1 donc les valeurs prises par V 1 sont { t 1 , t 0 , t 1 }

      k 1 / t 1 t
      P ( V 1 = k ) q r p
      k P ( V 1 = k ) q / t 0 p t q + p t 2 t = E ( S 1 )

    3. On a ensuite V n = t S n = t Z 1 + \dots + Z n = t Z 1 t Z 2 \dots t Z n

      et comme les t Z i sont indépendants, l'espérance du produit est le produit des espérances, et comme ils ont tous la même espérance que S 1 ,

      E ( V n ) = E ( t Z 1 ) \dots E ( t Z n ) = ( E ( S 1 ) ) n