Probabilité : manipulations de variables aléatoires

ESCP 1996

On note l'ensemble des entiers naturels et * l'ensemble des entiers strictement positifs

Une urne contient des boules blanches, noires et rouges. Les proportions respectives de ces boules sont p pour les blanches, q pour les noires et r pour les rouges ( p + q + r = 1 )

On fait dan cette urne des tirages successifs indépendants umérotés 1, 2, ... etc. Ces tirages sont faits avec relise de la boule tirée. Les proportions des boules restent ainsi les mêmes au cours de l'expérience.

Toutes les variables aléatoires sont définies dans un espace de probabilité ( Ω , 𝒜 , P )

  1. On note X 1 la variable aléatoire représentant le numéro du tirage auquel une boule blanche sort pour la prenrière fois. Trouver la loi de probabilité de X 1 ; calculer son espérance et sa variance.

  2. On note X 2 la variable aléatoire représentant le numéro du deuxième tirage d'une boule blanche.

    1. Trouver, pour tout couple d'entiers strictement positifs ( k , l ) , la probabilité de l'événement . { X 1 = k , X 2 = k + l } . En déduire la loi de probabilité de X 2

    2. Montrer que la variable U 2 = X 2 X 1 est indépendante de X 1 et qu'elle a la même loi de probabilité. En déduire l'espérance et la variance de X 2 .

  3. On note W la variable aléatoire représentant le nombre de boules rouges tirées avant l'obtention de la première boule blanche. Pour tout couple ( k , l ) de * × , déterminer la probabilité conditionnelle de l'événement { W = l } sachant que X 1 = k . Quelle est la loi conditionnelle de W sachant X 1 = k ?

  4. On note Y 1 la variable aléatoire représentant le numéro du tirage auquel une boule noire sort pour la première fois.

    1. Trouver 1a loi de probabilité du couple ( X 1 , Y 1 ) . Les variables aléatoires X 1 et Y 1 sont elles indépendantes ?

    2. On se place, pour cette question, dans le cas particulier où r = 0 (c'est à dire qu'il n'y a pas de boule rouge). Calculer alors la covariance de X 1 et Y 1

  5. Soit, pour n entier strictement positif, Z n la variable aléatoire qui prend la valeur + 1 si au n i e ` m e tirage une boule blanche est tirée, 1 si au n i e ` m e tirage une boule noire est tirée, 0 si au n i e ` m e tirage une boule rouge est tirée. On note S n = Z 1 + \dots + Z n

    1. Trouver la loi de probabilité de S 1 . Calculer son espérance et sa variance ; en déduire l'espérance et la variance de S n pour tout n 1.

    2. Soit t un réel strictement positif. On pose V n = t S n . Trouver la loi de probabilité de la variable V 1 et calculer son espérance.

    3. En déduire l'espérance de V n .