ESSEC 1999 Maths II
L'objectif de ce probléme est l'étude de la modélisation de l'accroissement d'une population, tant par les naissances que par l'immigration.
Cette étude est effectuée dans la partie II, tandis que, dans la partie I, on établit un résultat probabiliste préliminaire.


Partie I

  1. Etude des séries dérivées de la série géométrique.
    Dans toute cette question, on désigne par x un nombre réel x tel que 0x<1.
    1. Calculer pour tout nombre entier naturel n les deux sommes suivantes:
      k=0 n xk        et        k=1 n kxk-1

    2. Déterminer la limite de xn et de nxn , et des deux sommes précédentes quand n tend vers +.
      On admettra alors qu'il est licite, pour 0x<1 de dériver terme à terme l'égalité classique:
      m=0 + xm =\dfrac11-x

      autrement dit, que l'on a pour tout nombre entier naturel non nul k la relation suivante ():
      m=k +m(m-1)(m-k+1) xm-k =\dfrac dk dxk (\dfrac11-x)

    3. Exprimer ainsi \dfrac1(1-x )3 sous la forme d'une série.
    4. Expliciter la dérivée kième de la fonction x\dfrac1(1-x).
      Effectuer dans la relation () le changement d'indice n=m-k et déduire de ces résultats l'expression de n=0 + Cn+k k xn en fonction de k et x.
  2. Application à l'étude de la loi binomiale négative.
    On considére une suite d'épreuves de Bernoulli identiques, indépendantes et menant au succés avec la probabilité p ( 0<p<1).
    Pour tout nombre entier k1, on désigne par Xk la variable aléatoire indiquant le numéro de l'épreuve où intervient le k-iéme succés (et Xk prend donc des valeurs supérieures ou égales à k).
    1. On suppose k=1. Préciser la loi de X1 , la probabilité P( X1 =n+1) pour tout nombre entier naturel n et l'espérance E( X1 ) de la variable aléatoire X1 .
    2. On suppose k>1. Déterminer la probabilité d'obtenir k-1 succés en n+k-1 épreuves, puis en déduire la probabilité P( Xk =n+k) pour tout nombre entier naturel n.
    3. A l'aide des résultats précédents, vérifier que la série P( Xk =n+k) a pour somme 1, puis calculer l'espérance E( Xk ) de la variable aléatoire Xk en fonction de p et k.
      Comment peut-on interpréter ce dernier résultat?
      On dit alors que la variable aléatoire Xk suit la loi binomiale négative de paramétres p et k.

Partie II

On étudie dans cette partie la croissance d'une population au cours du temps. A cet effet, on introduit pour tout nombre réel positif t la variable aléatoire X(t) indiquant le nombre des individus de la population à l'instant t, et l'on suppose que l'on a X(0)=k, autrement dit que la population compte k individus ( k0) à l'instant initial t=0.
  1. Croissance de la population par les naissances ( k>0).
    On suppose dans cette question qu'il existe un nombre réel strictement positif λ tel que l'on ait pour tout couple (t,h) de nombres positifs avec h>0 et pour tout nombre entier naturel n:
    Ces hypothéses signifient que la population ne peut pas diminuer, que la probabilité pour qu'une naissance se produise pendant une courte durée h est proportionnelle à cette durée h et au nombre n+k des individus présents à l'instant t, et qu'enfin la probabilité pour que plusieurs naissances se produisent pendant une courte durée h est négligeable devant la probabilité d'une seule naissance.
    On précisera dans ce contexte la probabilité conditionnelle P(X(t+h)=n+k/X(t)=n+k).
    1. Etablir à l'aide de la formule des probabilités totales le résultat suivant:
      P(X(t+h)=k)=(1-λkh)P(X(t)=k)+h ϵ0 (h)

      h ϵ0 (h) désigne une fonction tendant vers 0 lorsque h tend vers 0.
      En déduire que la fonction définie par pk (t)=P(X(t)=k) est dérivable à droite sur + et que l'expression de sa dérivée à droite en t est:
      pk ' (t)=-λ kpk (t)

      On admettra que cette formule est en fait valable pour la dérivée de la fonction pk .
    2. Dériver la fonction définie sur \mathbb + par t eλkt pk (t) puis, en tenant compte de la valeur de pk (0)=P(X(0)=k), en déduire l'expression de pk (t) en fonction de k, λ et t.
    3. Etablir le résultat suivant pour n>1:
      P(X(t+h)=n+k)=(1-λ(n+k)h)P(X(t)=n+k)+λ(n+k-1)hP(X(t)=n+k-1)+h ϵn (h)

      h ϵn (h) désigne une fonction tendant vers 0 lorsque h tend vers 0.
      En déduire que la fonction définie par pn+k (t)=P(X(t)=n+k) est dérivable à droite sur \mathbb + pour k1 et que l'expression de sa dérivée à droite en t est:
      pn+k ' (t)=-λ(n+k) pn+k (t)+λ(n+k-1) pn+k-1 (t)

      On admettra que cette formule est en fait valable pour la dérivée de la fonction pn+k .
    4. Dériver la fonction définie sur \mathbb + par t eλ(n+k)t pn+k (t) et en déduire par récurrence sur n le résultat suivant:
      pn+k (t)=P(X(t)=n+k)= Cn+k-1 k-1 e-λkt (1- e-λt )n

    5. Reconnaître à l'aide des résultats de la partie I la loi de la variable aléatoire X(t) et déterminer son espérance E(X(t)) en fonction de λ, k et t.
  2. Croissance de la population par l'immigration.
    On suppose dans cette question qu'il existe un nombre réel strictement positif μ tel que l'on ait pour tout couple (t,h) de nombres positifs avec h>0 et pour tout nombre entier naturel n:
    Ces hypothéses signifient que la population ne peut pas diminuer, que la probabilité d'arrivée d'un immigré pendant une courte durée h est proportionnelle à cette durée h (mais indépendante du nombre n+k des individus déjà présents à l'instant t), et qu'enfin la probabilité d'arrivée de plusieurs immigrés pendant une courte durée h est négligeable devant la probabilité d'arrivée d'un seul immigré.
    On précisera dans ce contexte la probabilité conditionnelle P(X(t+h)=n+k/X(t)=n+k).
    1. Etablir à l'aide de la formule des probabilités totales le résultat suivant:
      P(X(t+h)=k)=(1-μh)P(X(t)=k)+h ϵ0 (h)

      h ϵ0 (h) désigne une fonction tendant vers 0 lorsque h tend vers 0.
      En déduire que la fonction définie par qk (t)=P(X(t)=k) est dérivable à droite sur \mathbb + et que l'expression de sa dérivée à droite en t est:
      qk ' (t)=-μ qk (t)

      On admettra que cette formule est en fait valable pour la dérivée de la fonction qk .
    2. Dériver la fonction définie sur \mathbb + par t eμt qk (t) puis, en tenant compte de la valeur de qk (0)=P(X(0)=k), en déduire l'expression de qk (t) en fonction de μ et t.
    3. Etablir le résultat suivant pour n1:
      P(X(t+h)=n+k)=(1-μh)P(X(t)=n+k)+μhP(X(t)=n+k-1)+h ϵn (h)

      h ϵn (h) désigne une fonction tendant vers 0 lorsque h tend vers 0.
      En déduire que la fonction définie par qn+k (t)=P(X(t)=n+k) est dérivable à droite sur \mathbb + pour k1 et que l'expression de sa dérivée à droite en t est:
      qn+k ' (t)=-μ qn+k (t)+μ qn+k-1 (t)

      On admettra que cette formule est en fait valable pour la dérivée de la fonction qn+k .
    4. Dériver la fonction définie sur \mathbb + par t eμt qn+k (t) et en déduire qn+k (t) pour n=1,  2 et 3, puis dans le cas général.
    5. Reconnaître la loi de la variable aléatoire X(t)-k et donner l'espérance E(X(t)) en fonction de μ, k et t.

** FIN **



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On 18 May 2004, 00:01.