ESSEC 1998 Maths II
La pr\esentation, la lisibilit\e, l'orthographe, la qualit\e de la r\edaction, la clart\e et la pr\ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appr\eciation des copies. Les candidats sont invit\es \a encadrer dans la mesure du possible les r\esultats de leurs calculs. ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout mat\eriel \electronique est interdite. Seule l'utilisation d'une r\egle gradu\ee est autoris\ee.
On consid\ere dans ce probl\eme un guichet auquel se pr\esentent al\eatoirement des clients. L'objectif est d'\etudier la file d'attente se formant \a ce guichet au cours du temps, ce qui est trait\e dans la partie II. Dans la partie I, on \etudie une suite r\ecurrente utilis\ee ult\erieurement.
Partie I
On consid\ere un nombre r\eel strictement positif
Convergence de la suite
Établir par récurrence pour tout nombre entier naturel
En déduire la convergence de la suite
Limite de la suite
À l'aide de l'inégalité des accroissements finis, établir
que:
En déduire l'inégalité
Limite de la suite
On étudie ici les racines de l'équation
Prouver que
Exprimer l'unique racine de l'équation
En déduire la variation de la fonction
Préciser dans ces deux cas le nombre des racines de l'équation
On convient désormais de noter
On
vérifiera en particulier que
On étudie ici la plus petite racine
Étudier et représenter graphiquement sur
Comparer les images des nombres
En déduire que la fonction
Dresser le tableau de variation de
Prouver que
On étudie maintenant la limite de la suite
Établir l'inégalité
En déduire la limite
Écrire (en PASCAL) un algorithme permettant de déterminer une valeur
approchée de
Courbe représentative de la fonction
Déduire de ces résultats l'allure de la courbe représentative
de la fonction
Partie II
Dans cette partie, le temps est suppos\e discr\etis\e et se pr\esente donc
comme une succession d'instants
On suppose qu'un premier client est au guichet \a l'instant
Ces variables aléatoires
On appelle dur\ee de service d'un client au guichet le temps pass\e par
l'employ\e du guichet \a le servir (une fois son attente dans la file
achev\ee). Pour pr\eciser, si la dur\ee de service du premier client est
\egale \a
Les variables al\eatoires indiquant les dur\ees de service au guichet des
clients successifs sont suppos\ees ind\ependantes et suivent la mÍme loi
de Poisson de param\etre
On convient d'appeler premi\ere vague de clients l'ensemble de ceux arriv\es
au guichet pendant la dur\ee de service du client initial, puis, de façon
g\en\erale, on appelle
Loi de la variable aléatoire
Étant donné un nombre entier naturel
On précisera les expressions des probabilités conditionnelles
En déduire à l'aide de la formule des probabilités totales que
Probabilité pour que la file d'attente au guichet s'achève.
Dans toute la suite du problème, on convient de poser
Prouver que l'événement:
``la file d'attente au guichet s'achève au bout d'un temps fini''
(autrement dit: ``il n'y a plus personne au guichet au bout d'un temps fin'')
est la réunion des événements
Montrer que cette suite d'événements
que la suite
que la probabilité pour que la file d'attente au guichet s'achève au
bout d'un temps fini est égale à cette limite
Justifier, pour tout couple
En déduire l'expression de
On discutera et interprétera le résultat obtenu en fonction des
valeurs de
Déterminer les valeurs exactes ou approchées à
Calcul de l'espérance
On convient d'appeler ``espérance de la variable aléatoire
On suppose l'événement
En déduire la loi de la variable aléatoire
On suppose que l'espérance
En admettant qu'il est alors licite de permuter les symboles
En déduire l'existence et l'expression de
Déterminer l'espérance du nombre de clients qui se présentent
au guichet jusqu'à ceux de la
Discuter et interpréter la limite de cette espérance quand