ESSEC 1998 Maths II

La pr\esentation, la lisibilit\e, l'orthographe, la qualit\e de la r\edaction, la clart\e et la pr\ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appr\eciation des copies. Les candidats sont invit\es \a encadrer dans la mesure du possible les r\esultats de leurs calculs. ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout mat\eriel \electronique est interdite. Seule l'utilisation d'une r\egle gradu\ee est autoris\ee.

On consid\ere dans ce probl\eme un guichet auquel se pr\esentent al\eatoirement des clients. L'objectif est d'\etudier la file d'attente se formant \a ce guichet au cours du temps, ce qui est trait\e dans la partie II. Dans la partie I, on \etudie une suite r\ecurrente utilis\ee ult\erieurement.

Partie I

On consid\ere un nombre r\eel strictement positif a et la fonction f d\efinie pour tout nombre r\eel x par: f ( x ) = e x p [ a ( x 1 ) ] . On d\efinit alors une suite ( u k ) par son premier terme u 0 = 0 et la relation : u k + 1 = f ( u k ) .

  1. Convergence de la suite ( u k ) .

    1. Établir par récurrence pour tout nombre entier naturel k les inégalités: 0 u k 1        et        u k u k + 1 .

    2. En déduire la convergence de la suite ( u k ) , dont on notera L ( a ) la limite.

  2. Limite de la suite ( u k ) lorsque a < 1.

    1. À l'aide de l'inégalité des accroissements finis, établir que: 0 1 u k + 1 a ( 1 u k ) .

    2. En déduire l'inégalité 0 1 u k a k pour tout nombre entier naturel k , puis la limite L ( a ) de la suite ( u k ) pour 0 < a < 1.

  3. Limite de la suite ( u k ) lorsque a 1.

    1. On étudie ici les racines de l'équation f ( x ) = x lorsque a 1.

      • Prouver que 0 1 l n ( a ) / a 1 pour a 1.

      • Exprimer l'unique racine de l'équation f ( x ) = 1 en fonction de a .

      • En déduire la variation de la fonction x f ( x ) x pour a = 1 , puis pour a > 1.

        Préciser dans ces deux cas le nombre des racines de l'équation f ( x ) = x .

      On convient désormais de noter r ( a ) la plus petite racine de l'équation f ( x ) = x .
      On vérifiera en particulier que 0 < r ( a ) < 1 pour a > 1 , et que r ( 1 ) = 1.

    2. On étudie ici la plus petite racine r ( a ) de l'équation f ( x ) = x lorsque a 1.

      • Étudier et représenter graphiquement sur [ 0 , + [ la fonction x x e x .

        Comparer les images des nombres a et a r ( a ) par cette fonction.

      • En déduire que la fonction ϕ , définie pour 0 x 1 par ϕ ( x ) = x e x , réalise une bijection de [ 0 , 1 ] sur [ 0 , 1 / e ] et montrer que la fonction ϕ 1 est continue et strictement croissante sur [ 0 , 1 / e ] (on citera le théorème utilisé).

        Dresser le tableau de variation de ϕ 1 .

      • Prouver que r ( a ) = 1 a ϕ 1 ( a e a ) , puis déterminer la limite de r ( a ) en + .

    3. On étudie maintenant la limite de la suite ( u k ) lorsque a 1 .

      • Établir l'inégalité 0 u k r ( a ) pour tout nombre entier naturel k .

      • En déduire la limite L ( a ) de la suite ( u k ) pour a 1.

      • Écrire (en PASCAL) un algorithme permettant de déterminer une valeur approchée de L ( a ) à 10 2 près. On obtient ainsi L ( 2 ) = 0 , 20 , L ( 4 ) = 0 , 02 , etc.

  4. Courbe représentative de la fonction a L ( a ) pour a > 0.

    Déduire de ces résultats l'allure de la courbe représentative de la fonction a L ( a ) pour a > 0.

Partie II

Dans cette partie, le temps est suppos\e discr\etis\e et se pr\esente donc comme une succession d'instants 0 , 1 , 2 , 3 , ... , n , ... et l'on consid\ere un guichet auquel peut se pr\esenter au plus un client dans un intervalle de temps [ n 1 , n [ , c'est \a dire entre deux instants cons\ecutifs quelconques n 1 et n ( n 1 ).

On suppose qu'un premier client est au guichet \a l'instant 0 , et, pour tout nombre entier n 1 , on d\esigne par B n la variable al\eatoire prenant la valeur 1 si un client se pr\esente au guichet entre les instants n 1 et n , et 0 sinon (et le client ainsi arriv\e se place au bout de la file d'attente devant le guichet).

Ces variables aléatoires B 1 , B 2 , ..., B n , ...sont supposées indépendantes et prennent la valeur 1 avec la probabilité p ( 0 < p < 1 ).

On appelle dur\ee de service d'un client au guichet le temps pass\e par l'employ\e du guichet \a le servir (une fois son attente dans la file achev\ee). Pour pr\eciser, si la dur\ee de service du premier client est \egale \a n , le guichet est libre pour le service du client suivant \a partir de l'instant n .

Les variables al\eatoires indiquant les dur\ees de service au guichet des clients successifs sont suppos\ees ind\ependantes et suivent la mÍme loi de Poisson de param\etre λ > 0 . En particulier, on notera D la variable al\eatoire indiquant la dur\ee de service au guichet du client initial.

On convient d'appeler premi\ere vague de clients l'ensemble de ceux arriv\es au guichet pendant la dur\ee de service du client initial, puis, de façon g\en\erale, on appelle ( k + 1 ) i e ` m e vague de clients l'ensemble de ceux arriv\es pendant la dur\ee de service des clients de la k i e ` m e vague. On d\esigne alors par N k le nombre al\eatoire des clients de la k i e ` m e vague (\etant entendu que l'on pose N k = 0 s'il n'y a pas de client de k i e ` m e vague). Par convention, on pose N 0 = 1.

  1. Loi de la variable aléatoire N 1 .

    1. Étant donné un nombre entier naturel n , déterminer la loi de la variable aléatoire N 1 conditionnée par l'événement D = n .

      On précisera les expressions des probabilités conditionnelles P ( N 1 = k / D = n ) .

    2. En déduire à l'aide de la formule des probabilités totales que N 1 suit une loi de Poisson dont on précisera le paramètre et l'espérance.

  2. Probabilité pour que la file d'attente au guichet s'achève.

    Dans toute la suite du problème, on convient de poser p k = P ( N k = 0 ) .

    1. Prouver que l'événement:

      ``la file d'attente au guichet s'achève au bout d'un temps fini''

      (autrement dit: ``il n'y a plus personne au guichet au bout d'un temps fin'') est la réunion des événements ` ` N k = 0 , pour k 1.

      Montrer que cette suite d'événements ( N k = 0 ) k 1 est croissante, et en déduire:

      • que la suite ( p k ) k 1 = ( P ( N k = 0 ) k 1 est convergente vers une limite L 1.

      • que la probabilité pour que la file d'attente au guichet s'achève au bout d'un temps fini est égale à cette limite L .

    2. Justifier, pour tout couple ( j , k ) de nombres entiers naturels, les formules: P ( N k + 1 = 0 / N 1 = 1 ) = P ( N k = 0 )        ;        P ( N k + 1 = 0 / N 1 = j ) = ( P ( N k = 0 ) ) j .

    3. En déduire l'expression de p k + 1 = P ( N k + 1 = 0 ) en fonction de p k , préciser p 0 et, à l'aide des résultats de la partie I, la limite de la suite ( p k ) et la probabilité pour que la file d'attente au guichet s'achève au bout d'un temps fini.

      On discutera et interprétera le résultat obtenu en fonction des valeurs de λ p .

    4. Déterminer les valeurs exactes ou approchées à 10 2 près des probabilités pour que la file d'attente au guichet s'achève au bout d'un temps fini lorsque la durée moyenne de service d'un client au guichet est égale à 1 , 2 , 4 ou 8 instants tandis que la probabilité pour qu'un client se présente au guichet entre deux instants consécutifs donnés est égale à 0 , 5 d'abord, à 0 , 25 ensuite.

  3. Calcul de l'espérance E ( N k ) de la variable aléatoire N k .

    On convient d'appeler ``espérance de la variable aléatoire N k + 1 conditionnée par l'événement N k = i '', et de noter E ( N k + 1 / N k = i ) , l'espérance de N k + 1 lorsque la probabilité est la probabilité conditionnelle sachant l'événement N k = i réalisé, autrement dit l'espérance définie comme suit (si elle existe):

    ( * )            E ( N k + 1 / N k = i ) = j = 0 + j P ( N k + 1 = j / N k = i ) .

    1. On suppose l'événement N k = i réalisé. Déterminer alors la loi de la durée de service de ces i clients de la k ième vague en distinguant les cas i = 0 et i 1.

      En déduire la loi de la variable aléatoire N k + 1 conditionnée par l'événement N k = i et vérifier que E ( N k + 1 / N k = i ) = i λ p .

    2. On suppose que l'espérance E ( N k ) existe. Établir que:

      E ( N k ) = 1 λ p i = 0 + P ( N k = i ) . E ( N k + 1 / N k = i ) .

      En admettant qu'il est alors licite de permuter les symboles dans le calcul, établir l'existence de l'espérance E ( N k + 1 ) et donner son expression en fonction de λ , p et de l'espérance E ( N k ) .

    3. En déduire l'existence et l'expression de E ( N k ) .

    4. Déterminer l'espérance du nombre de clients qui se présentent au guichet jusqu'à ceux de la n i e ` m e vague incluse.

    5. Discuter et interpréter la limite de cette espérance quand n tend vers + pour λ p < 1. Qu'obtient-on numériquement dans les cas évoqués au 2 o ( d ) ?