Corrigé ESLSCA 1992 par Pierre Veuillez

Ainsi, pour k = 1 , 2 , , N 1 , l'événement ( X N = k ) signifie que l'on a échoué au niveau k + 1 , et l'événement ( X N = N ) que l'on est vainqueur du jeu.

  1. Pour k = 1 , 2 , N 1 , l'événement ( X N = k ) signifie que l'on a échoué au niveau k + 1 donc en codant E i pour échec et S i pour succès au i i e ` m e essai on a : ( X N = k ) = S 1 \dots S k E k + 1 donc p ( X N = k ) = p ( S 1 ) \dots p ( S k / S 1 \dots S k 1 ) p ( E k + 1 / S 1 \dots S k )

    le conditionnement indiquant que l'on a gagné jusque là et donc que l'on tente le niveau supérieur.

    p ( X N = k ) = 1 1 \dots 1 k ( 1 1 k + 1 ) = k 1 2 \dots k ( k + 1 ) = k ( k + 1 ) !

    ( X N = N ) quant à lui signifie que l'on a passé victorieusement tous les niveaux : ( X N = N ) = S 1 \dots S N donc p ( X N = N ) = p ( S 1 ) \dots p ( S N 1 / S 1 \dots S N 2 ) p ( S N / S 1 \dots S N 1 ) = 1 1 \dots 1 N 1 1 N = 1 N !

  2. Pour calculer E ( X N + 1 ) on pourrait passer par E ( X N + 1 ) = E ( X N ) + 1 mais ce n'est qu'à la question suivante qu'il faudra utiliser celà.

    On calcule donc ici l'espérance d'une fonction de X N . E ( f ( X ) ) = k X ( Ω ) f ( k ) p ( X = k ) ici : E ( X N + 1 ) = k = 1 N ( k + 1 ) p ( X N = k )

    la probabilité étant donnée par deux formules différentes suivant que k N 1 ou k = N , on découpe tout d'abord la somme pour séparer ces deux conditions : E ( X N + 1 ) = k = 1 N 1 ( k + 1 ) p ( X N = k ) + ( N + 1 ) p ( X N = N ) = k = 1 N 1 ( k + 1 ) k ( k + 1 ) ! + N + 1 N !

    Comme k 1 dans la somme, on peut décomposer la factorielle : ( k + 1 ) ! = ( k + 1 ) k ( k 1 ) ! E ( X N + 1 ) = k = 1 N 1 1 ( k 1 ) ! + N N ! + 1 N ! réindexé : = h = 0 N 2 1 h ! + 1 ( N 1 ) ! + 1 N ! = h = 0 N 1 h !

    Donc E ( X N + 1 ) = S N et comme E ( X N + 1 ) = E ( X N ) + 1 on a bien finalement E ( X N ) = S N 1 avec

    ET on reconnait avec 1 = 1 h la somme partielle de la série exponnentielle et lim N + E ( X N ) = e 1 = e

  3. On aapplique la même technique pour le calcul de E [ ( X N + 1 ) ( X N 1 ) ]

    avec la simplification de la factorielle ( k + 1 ) = ( k + 1 ) k ( k 1 ) ( k 2 ) ! qui n'est valable que pour k 2 E [ ( X N + 1 ) ( X N 1 ) ] = k = 1 N ( k + 1 ) ( k 1 ) p ( X N = k ) = 0 p ( X N = 0 ) + k = 2 N 1 ( k + 1 ) ( k 1 ) k ( k + 1 ) ! + ( N + 1 ) ( N 1 ) N ! = k = 2 N 1 1 ( k 2 ) ! + ( N + 1 ) ( N 1 ) N ! réindexé  h = k 2 = h = 0 N 3 1 h ! + ( N + 1 ) ( N 1 ) N ! = S N 3 + ( N + 1 ) ( N 1 ) N !

    On a V ( X N ) = E ( X N 2 ) E ( X N ) 2

    On développe donc E [ ( X N + 1 ) ( X N 1 ) ] pour en tirer E ( X N 2 ) : E [ ( X N + 1 ) ( X N 1 ) ] = E ( X N 2 1 ) = E ( X N 2 ) 1 et E ( X N 2 ) = E [ ( X N + 1 ) ( X N 1 ) ] + 1 = S N 3 + ( N + 1 ) ( N 1 ) N ! + 1 D'où finalement V ( X N ) = S N 3 + ( N + 1 ) ( N 1 ) N ! + 1 ( S N 1 ) 2

    Et comme S N 3 e et ( N + 1 ) ( N 1 ) N ! = N 2 ( 1 / N ) N ! 0 car N 2 N ! on a finalement

    V ( X N ) N + e + 1 ( e 1 ) 2 = 3 e e 2

(ESLSCA 1992)