-
Pour
k
=
1
,
2
,
…
⁢
N
−
1
,
l'événement
(
X
N
=
k
)
signifie que l'on a échoué au niveau
k
+
1
donc en codant
E
i
pour échec et
S
i
pour succès au
i
i
⁢
e
`
⁢
m
⁢
e
essai on a :
(
X
N
=
k
)
=
S
1
∩
\dots
∩
S
k
∩
E
k
+
1
donc
p
⁣
(
X
N
=
k
)
=
p
⁡
(
S
1
)
⋅
\dots
⋅
p
⁡
(
S
k
/
S
1
∩
\dots
∩
S
k
−
1
)
⋅
p
⁡
(
E
k
+
1
/
S
1
∩
\dots
∩
S
k
)
le conditionnement indiquant que l'on a gagné jusque là et donc que
l'on tente le niveau supérieur.
p
⁣
(
X
N
=
k
)
=
1
1
⋅
\dots
⋅
1
k
⁢
(
1
−
1
k
+
1
)
=
k
1
⋅
2
⋅
\dots
⋅
k
⁢
(
k
+
1
)
=
k
(
k
+
1
)
!
(
X
N
=
N
)
quant à lui signifie que l'on a passé victorieusement tous les
niveaux :
(
X
N
=
N
)
=
S
1
∩
\dots
∩
S
N
donc
p
⁣
(
X
N
=
N
)
=
p
⁡
(
S
1
)
⋅
\dots
⋅
p
⁡
(
S
N
−
1
/
S
1
∩
\dots
∩
S
N
−
2
)
⋅
p
⁡
(
S
N
/
S
1
∩
\dots
∩
S
N
−
1
)
=
1
1
⋅
\dots
⋅
1
N
−
1
⋅
1
N
=
1
N
!
-
Pour calculer
E
⁢
(
X
N
+
1
)
on pourrait passer par
E
⁡
(
X
N
+
1
)
=
E
⁡
(
X
N
)
+
1
mais ce n'est qu'à la question suivante qu'il faudra utiliser celà.
On calcule donc ici l'espérance d'une fonction de
X
N
.
E
⁡
(
f
⁡
(
X
)
)
=
∑
k
∈
X
⁡
(
Ω
)
f
⁡
(
k
)
⁢
p
⁣
(
X
=
k
)
ici :
E
⁡
(
X
N
+
1
)
=
∑
k
=
1
N
(
k
+
1
)
⁢
p
⁣
(
X
N
=
k
)
la probabilité étant donnée par deux formules différentes
suivant que
k
≤
N
−
1
ou
k
=
N
,
on découpe tout d'abord la somme pour séparer ces deux conditions :
E
⁡
(
X
N
+
1
)
=
∑
k
=
1
N
−
1
(
k
+
1
)
⁢
p
⁣
(
X
N
=
k
)
+
(
N
+
1
)
⁢
p
⁣
(
X
N
=
N
)
=
∑
k
=
1
N
−
1
(
k
+
1
)
⁢
k
(
k
+
1
)
!
+
N
+
1
N
!
Comme
k
≥
1
dans la somme, on peut décomposer la factorielle :
(
k
+
1
)
!
=
(
k
+
1
)
⁢
k
⁢
(
k
−
1
)
!
E
⁡
(
X
N
+
1
)
=
∑
k
=
1
N
−
1
1
(
k
−
1
)
!
+
N
N
!
+
1
N
!
réindexé :
=
∑
h
=
0
N
−
2
1
h
!
+
1
(
N
−
1
)
!
+
1
N
!
=
∑
h
=
0
N
1
h
!
Donc
E
⁡
(
X
N
+
1
)
=
S
N
et comme
E
⁡
(
X
N
+
1
)
=
E
⁡
(
X
N
)
+
1
on a bien finalement
E
⁡
(
X
N
)
=
S
N
−
1
avec
ET on reconnait avec
1
=
1
h
la somme partielle de la série exponnentielle et
lim
N
→
+
∞
E
⁡
(
X
N
)
=
e
1
=
e
-
On aapplique la même technique pour le calcul de
E
⁢
[
(
X
N
+
1
)
⁢
(
X
N
−
1
)
]
avec la simplification de la factorielle
(
k
+
1
)
=
(
k
+
1
)
⁢
k
⁢
(
k
−
1
)
⁢
(
k
−
2
)
!
qui n'est valable que pour
k
≥
2
E
⁢
[
(
X
N
+
1
)
⁢
(
X
N
−
1
)
]
=
∑
k
=
1
N
(
k
+
1
)
⁢
(
k
−
1
)
⁢
p
⁣
(
X
N
=
k
)
=
0
⁢
p
⁣
(
X
N
=
0
)
+
∑
k
=
2
N
−
1
(
k
+
1
)
⁢
(
k
−
1
)
⁢
k
(
k
+
1
)
!
+
(
N
+
1
)
⁢
(
N
−
1
)
N
!
=
∑
k
=
2
N
−
1
1
(
k
−
2
)
!
+
(
N
+
1
)
⁢
(
N
−
1
)
N
!
réindexé
h
=
k
−
2
=
∑
h
=
0
N
−
3
1
h
!
+
(
N
+
1
)
⁢
(
N
−
1
)
N
!
=
S
N
−
3
+
(
N
+
1
)
⁢
(
N
−
1
)
N
!
On a
V
⁡
(
X
N
)
=
E
⁡
(
X
N
2
)
−
E
⁢
(
X
N
)
2
On développe donc
E
⁢
[
(
X
N
+
1
)
⁢
(
X
N
−
1
)
]
pour en tirer
E
⁡
(
X
N
2
)
:
E
⁢
[
(
X
N
+
1
)
⁢
(
X
N
−
1
)
]
=
E
⁡
(
X
N
2
−
1
)
=
E
⁡
(
X
N
2
)
−
1
et
E
⁡
(
X
N
2
)
=
E
⁢
[
(
X
N
+
1
)
⁢
(
X
N
−
1
)
]
+
1
=
S
N
−
3
+
(
N
+
1
)
⁢
(
N
−
1
)
N
!
+
1
D'où finalement
V
⁡
(
X
N
)
=
S
N
−
3
+
(
N
+
1
)
⁢
(
N
−
1
)
N
!
+
1
−
(
S
N
−
1
)
2
Et comme
S
N
−
3
→
e
et
(
N
+
1
)
⁢
(
N
−
1
)
N
!
=
N
2
⁢
(
1
−
/
N
)
N
!
→
0
car
N
2
≪
N
!
on a finalement
V
⁡
(
X
N
)
→
N
→
+
∞
e
+
1
−
(
e
−
1
)
2
=
3
⁢
e
−
e
2