(ESLSCA 1992)

Un jeu vidéo comporte N phases de jeu : niveau 1, niveau 2, ... niveau N . On suppose que N est un entier au moins égal 3. Le jeu commence au niveau 1. Ensuite, il faut réussir un niveau pour passer au suivant et ainsi de suite jusqu'au dernier niveau.

Le jeu s'arrête si l'on a échoue à l'un des niveaux ou si l'on a réussi tous les niveaux.

On suppose en outre que, lorsqu'on parvient au niveau k ( k = 1 , 2 , , N ), la probabilité de réussir ce k e ` m e niveau est égale 1 / k .

On désigne par X N la variable alatoire suivante :

''Nombre de niveaux entièrement franchis au moment où le jeu s'arrête''.

Ainsi, pour k = 1 , 2 , , N 1 , l'événement ( X N = k ) signifie que l'on a échoué au niveau k + 1 , et l'événement ( X N = N ) que l'on est vainqueur du jeu.

  1. Démontrer que : P ( X N = k ) = k ( k + 1 ) ! pour k = 1 , 2 , N 1 et que :
    P ( X N = N ) = 1 N !

  2. Calculer E ( X N + 1 ) . En déduire que E ( X N ) = S N 1 avec S N = k = 0 N 1 k ! Que vaut lim N + E ( X N ) ?

  3. Exprimer E [ ( X N + 1 ) ( X N 1 ) ] l'aide de S N 3

    En déduire V ( X N ) en fonction de S N , S N 3 et N .

    Montrer que lim N + V ( X N ) = 3 e e 2 .