ESSEC 2003 maths 3

On effectue des lancers successifs (indépendants) d'un dé cubique équilibré, dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et on note X 1 , X 2 , \dots X n , \dots , les variables aléatoires donnant le numéro amené par le dé aux premier lancer, deuxième lancer, ... .


Pour tout entier naturel n non nul, on note Y n , la somme des points obtenus aux n premiers lancers.


Enfin, pour tout entier naturel k non nul, la variable aléatoire T k compte le nombre de celles des variables aléatoires Y 1 , Y 2 , \dots , Y n , \dots qui prennent une valeur inférieure ou égale à k .


Par exemple, si les cinq premiers numéros amenés par le dé sont, dans l'ordre : 3, 1, 2, 3, 6, alors les événements suivants sont réalisés : ( Y 1 = 3 ) , ( Y 2 = 4 ) , ( Y 3 = 6 ) , ( Y 4 = 9 ) , ( Y 5 = 15 ) , et les variables aléatoires T 2 , T 3 , T 9 et T 1 2 prennent respectivement pour valeurs 0, 1, 4 et 4 .

  1. On s'intéresse dans cette question à la variable aléatoire T 1 2 .

    1. Donner les valeurs prises par T 1 2

      (On explicitera un exemple de résultat correspondant à chacune des deux valeurs extrêmes).

      Quelle est la probabilité que T 1 2 prenne la valeur 12 ?

    2. Simulation informatique

      Compléter les lignes marquées par les symboles . . . du programme Pascal ci-dessous, de façon qu'il simule l'expérience aléatoire étudiée et affiche la valeur de T 1 2 .

      On rappelle que random(6) fournit un entier aléatoire parmi 0, 1, 2, 3, 4, 5 .



      Program ESSEC2003A;

      var x,y,t:integer;

      begin

      randomize;

      y:=0;t:=0;

      repeat

      x:=random(6)+1;

      y:=...;

      t:=...;

      until ...;

      writeln(T=',t-1);

      end.

  2. On s'intéresse dans cette question à la variable aléatoire T 2

    1. Déterminer la loi de probabilité de T 2 .

    2. Qu'obtient-on à l'affichage en exécutant le programme ci-dessous ?

      program Essec2003B;

      var i,d1,d2:integer;

      loi:array[0..2] of integer;

      begin

      for i:=0 to 2 do loi[il:=0;

      for d1:=1 to 6 do for d2:=1 to 6 do

      if d1 > 2 then loi[0]:=loi[0]+1 else

      if d1+d2 > 2 then loi[1]:=Ioi[1]+1

      else loi[2]:=Ioi[2]+1;

      for i:=0 to 2 do write(loi[i]/36);

      end.

Dorénavant, on considère une suite ( X i ) i 1 de variables aléatoires, définies sur un même espace probabilisé ( Ω ; 𝒯 ; P ) , mutuellement indépendantes, de même loi, à valeurs positives ou nulles.


Pour tout entier naturel n non nul, on pose alors : Y n = X 1 + X 2 + \dots + X n et on note F n la fonction de répartition de la variable aléatoire Y n .


On fixe un réel strictement positif x , et on s'intéresse au nombre T x des variables aléatoires Y n telles que l'événement ( Y n x ) soit réalisé.


II. Cas général.

  1. Démontrer que la suite ( F n ( x ) ) n 1 est décroissante.

  2. Démontrer chacune des deux relations suivantes :

  3. En déduire l'équivalence : n = 0 + P ( T x = n ) = 1 lim n + F n ( x ) = 0

    Autrement dit, T x est une variable aléatoire si, et seulement si : lim n + F n ( x ) = 0



III. Cas d'une loi géométrique.

Dans cette troisième partie, les variables aléatoires X i , i * , suivent la loi géométrique 𝒢 ( p ) de paramètre p , ( 0 < p < 1 ) , et on pose : q = 1 p .


De plus, x est ici un entier naturel non nul fixé.


On rappelle que, par convention : C n m = 0 si n et m sont des entiers naturels tels que m > n .

  1. Loi de Y n , n *

    1. Préciser Y n ( Ω )

    2. Par un calcul de loi de somme, déterminer la loi de Y 2 , puis celle de Y 3 .

    3. Démontrer que, pour tous entiers naturels m et n tels que m n , on a l'égalité : k = n m C k n = C m + 1 n + 1

    4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul : P ( Y n = k ) = C k 1 n 1 q k n p n si k est un entier supérieur ou égal à n .

  2. Calcul de P ( T x = n ) .

    1. Justifier que T x est une variable aléatoire et préciser T x ( Ω ) .

      Calculer P ( T x = 0 )

    2. Vérifier chacune des deux égalités : F n ( x ) = p n k = n x C k n q k n q p n k = n + 1 x C k 1 n q k n 1 F n + 1 ( x ) = p n + 1 k = n + 1 x C k 1 n q k n 1 En utilisant II.2. , en déduire le calcul de P ( T x = n ) pour n entier supérieur ou égal à 1.

    3. Reconnaître la loi de T x ; préciser son espérance et sa variance.

  3. Sachant que les variables aléatoires X 1 , X 2 \dots sont des temps d'attente, et en observant que la réalisation de n premiers succès équivaut à la réalisation du n i e ` m e succès, donner une interprétation , soigneusement exposée, de chacune des variables aléatoires Y n et T x , et retrouver ainsi la loi de T x .



IV. Cas d'une loi exponentielle.

Dans cette dernière partie, les variables aléatoires X n suivent la loi exponentielle ( λ ) de paramètre λ > 0 .

On admettra qu'alors Y n admet pour densité la fonction f n définie sur par :

f n ( t ) = { 0 si  t < 0 λ n ( n 1 ) ! e λ t t n 1 si  t 0

  1. À l'aide de II.2. , calculer P ( T x = 0 ) , puis P ( T x = n ) pour tout entier naturel n non nul.

  2. Reconnaître la loi de T x ; préciser son espérance et sa variance.