Corrigé EDHEC 1993 par Pierre Veuillez
On effectue des lancers successifs au hasard d'un dé cubique non truqué jusqu'à ce que certains événements soient réalisés.
  1. On suppose que l'on dispose d'une fonction PASCAL, notée die (dé en anglais) sans paramètre, qui fournit à chaque appel , un entier pris au hasard entre 1 et 6 et on considère le programme PASCAL suivant qui simule l'espérience décrite ci-dessus.
    program X;
    var c,k: integer;
    begin
    c :=1; k :=0;
    while c6 do
                         begin
                                k:=k+1; c := die;
                         end;
    writeln (k)
    end.
    1. On lance le dé tant que (while) le résultat est différent de 6. On arrète les lancers quand il vaut 6
      k est le nombre de lancers pour obtenir 6 (a première affectation de c:=1 empèche d'avoir 6)
    2. On a deux affectation à chaque lancer de dé et 2 au début. Donc a(k)=2(k+1) et c(k)=k
  2. Pour tout entier i compris au sens large entre 1 et 6, on note Xi la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir le chiffre i pour la première fois.
    Xi est le rang du premier i dans une suite de lancers indépendants de proabilité 1/6. Donc Xi G(1/6)
    On a donc E( Xi )=6 et V( Xi )= 5 6 36=30
  3. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir le chiffre 1 et le chiffre 2.
    1. On a E=Y(Ω)=[[2;+[[
    2. Si il a fallut k lancers, on a pu avoir d'abord le 1 avant le k ième ( X1 <k) puis le 2 au k ième ( X2 =k) ou inversement
      Donc (Y=k)=( X1 <k X2 =k)( X2 <k X1 =k)
      Les deux étant incompatible P(Y=k)=P( X1 <k X2 =k)+P( X2 <k X1 =k)
      (attention, X1 et X2 ne sont pas indépendantes)
      Quand on a le premier 1 au k ième lancer, on a pu avoir le premier 2 avant ( X2 <k) ou après ( X2 >k) donc
      ( X1 =k)=( X1 =k X2 <k)( X1 =k X2 >k) et les deux étant incompatibles
      P( X1 =k)=P( X1 =k X2 <k)+P( X1 =k X2 >k)
    3. On a alors P( X1 =k X2 <k)=P( X1 =k)-P( X1 =k X2 >k) et comme le 1 et le 2 jouent des rôles symétriques, on a aussi
      P( X2 <k X1 =k)=P( X1 =k)-P( X1 =k X2 >k)
      Et donc
      P(Y=k)=2[P( X1 =k)-P( X1 =k X2 >k)].

    4. ( X1 =k X2 >k) signifie que l'on a le 1 au k ième sans avoir eu le 2. (ici, on oublie le cas où il n'y a pas de 2, masi cet événement est de probabilité nulle)
      En notant Ni le fait d'avoir ni le 1 ni le 2 au i ème lancer,
      ( X1 =k X2 >k)= N1 N2 Nk-1 1k , et les alancers étant indépendants,
      P( X1 =k X2 >k)=P( N1 )P( N2 )P( Nk-1 )P( 1k )= ( 2 3 )k-1 1 6
      Donc P(Y=k)=2[ 1 6 ( 5 6 )k-1 - 1 6 ( 2 3 )k-1 ]= 1 3 [ ( 5 6 )k-1 - ( 2 3 )k-1 ] pour tout k2
    5. Ecrire un programne PASCAL qui simule les lancers successifs du dé et qui compte le nombre de tirages nécessaires pour obtenir le chiffre 1 et le chiffre 2. ( On pourra utiliser la fonction die ainsi que deux variables booléennes).
      Plutot qu'un booleén, on peut utiliser des entier :
      program X2;
      var k,un,deux: integer;
      begin
      k :=0;deux:=0;un:=0; {compteront les 1 et 2 obtenus}
      repeat
             c:=die;
             if c=1 then un:=1; if c=2 then deux:=1;
             k:=k+1;
      until (deux=1) and (un=1)
      writeln (k)
      end.
(EDHEC 1993)



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On 11 Oct 2005, 22:23.