EDHEC 1993
On effectue des lancers successifs au hasard d'un dé cubique non truqué jusqu'à ce que certains événements soient réalisés.
  1. On suppose que l'on dispose d'une fonction PASCAL, notée die (dé en anglais) sans paramètre, qui fournit à chaque appel , un entier pris au hasard entre 1 et 6 et on considère le programme PASCAL suivant qui simule l'espérience décrite ci-dessus.
    program X;
    var c,k: integer;
    begin
    c :=1; k :=0;
    while c6 do
                         begin
                                k:=k+1; c := die;
                         end;
    writeln (k)
    end.
    1. Quel est l'événement qui doit être réalisé pour que l'on arrête les lancers de dé ?
      Que représente l'entier k ?
    2. Exprimer en fonction de la valeur de k qui est affichée à la fin le nombre a(k) d'affectations et le nombre c(k) de comparaisons effectuées lors de l'exécution du programme.
  2. Pour tout entier i compris au sens large entre 1 et 6, on note Xi la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir le chiffre i pour la première fois.
    Montrer que Xi suit une loi usuelle et donner les valeurs de l'espérance et de la variance de Xi .
  3. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir le chiffre 1 et le chiffre 2.
    1. Quel est l'ensemble E des valeurs prises par Y ?
    2. Montrer que, pour tout entier k de E :
      P(Y=k)=P(( X1 =k)( X2 <k))+P(( X1 <k)( X2 =k))

      et
      P( X1 =k)=P(( X1 =k)( X2 <k))+P(( X1 =k))( X2 >k))

    3. En déduire que, pour tout entier k de E :
      P(Y=k)=2[P( X1 =k)-P(( X1 =k)( X2 >k))].

    4. Utiliser l'égalité précédente pour calculer P(Y=k) pour tout entier k de E.
    5. Ecrire un programne PASCAL qui simule les lancers successifs du dé et qui compte le nombre de tirages nécessaires pour obtenir le chiffre 1 et le chiffre 2. ( On pourra utiliser la fonction die ainsi que deux variables booléennes).
(EDHEC 1993)



File translated from TEX by TTM, version 3.68.
On 11 Oct 2005, 22:23.