EDHEC 2004
On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On lance n fois une pièce équilibrée (cest-à-dire donnant pile avec la probabilité 1/2 et face également avec la probabilité 1/2), les lancers étant supposés indépendants.
On note Z la variable aléatoire qui vaut 0 si l'on n'obtient aucun pile pendant ces n lancers et qui, dans le cas contraire, prend pour valeur le rang du premier pile.
    1. Déterminer, en argumentant soigneusement, lensemble Z(Ω)
    2. Pour tout k de Z(Ω), calculer P(Z=k). On distinguera les cas k=0 et k1.
    3. Vérifier que kZ(Ω) P(Z=k)=1.
    4. On rappelle que l'instruction random(2) renvoie un nombre au hasard parmi les nombres 0 et 1. Recopier et compléter le programme suivant pour qu'il simule l'expérience décrite ci-dessus, l'entier n étant entré au clavier par l'utilisateur (pile sera codé par le nombre 1 et face par 0).
      Program EDHEC2004 ;
      var k, n, z, lancer : integer ;
      Begin
             Randomize ;
             Readln(n) ; k := 0 ; z := 0 ;
             Repeat
                     k := k + 1 ; lancer := random(2) ;
                     If (lancer = 1) then .......... ;
             until (lancer = 1) or (..........) ;
             Writeln (z) ;
      end.
    On dispose de n+1 urnes U0 ,   U1 ,, Un telles que pour tout k de {0,1,...,n} l'urne Uk contient k boules blanches et n-k boules noires.
    On effectue des tirages d'une boule, au hasard et avec remise dans ces urnes de la façon suivante : si après les lancers de la pièce décrits dans la première question, la variable Z prend la valeur k (avec k1), alors on tire une par une et avec remise, k boules dans l'urne Uk et l'on note X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues à lissue de ces tirages. Si la variable Z a pris la valeur 0, aucun tirage n'est effectué et X prend la valeur 0.
  1. Déterminer X(Ω).
    1. Déterminer, en distinguant les cas i=0 et 1in, la probabilité PZ=0 (X=i).
    2. Déterminer, en distinguant les cas i=n et 0in-1, la probabilité PZ=n (X=i).
    3. Pour tout k de {1,2,...,n-1} déterminer, en distinguant les cas 0ik et k<in, la probabilité conditionnelle PZ=k (X=i).
    1. Montrer que P(X=0)= k=1 n-1 ( n-k 2n )k + 1 2n
    2. Montrer que P(X=n)= 1 2n
    3. Exprimer, pour tout i de {1,2,...,n-1}, P(X=i) sous forme dune somme que l'on ne cherchera pas à réduire.
  2. Vérifier, avec les expressions trouvées à la question précédente, que i=0 nP(X=i)=1.
(EDHEC 2004)



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On 11 Oct 2005, 22:22.