Corrigé ECRICOME 2004 par Pierre Veuillez
Une personne envoie chaque jour un courrier électronique par l'intermédiaire de deux serveurs : le serveur A ou le serveur B.
On constate que le serveur A est choisi dans 70% des cas et donc que le serveur B est choisi dans 30% des cas. (Ce qui revient à dire que la probabilité pour que le serveur A soit choisi est de 0.7). Les choix des serveurs sont supposés indépendants les uns des autres.
  1. Dans cette question, on suppose que la probabilité d'une erreur de transmission avec le serveur A est de 0.1, alors que la probabilité d'erreur de transmission avec le serveur B est de 0.05.
    1. Passer par le serveur A ou B forme un système complet d'événement. En notant E "il y a une erreur de transmission"

      p(E) = p(E/A)p(A)+P(E/B)p(B)=0.1×0.7+0.05×0.3 = \allowbreak0.085

    2. "si le courrier a subi une erreur de transmission" pose une condition..
      On demande donc ici p(A/E) alors que la probabilité donnée est p(E/A)

      p(A/E) = p(AE) p(E) = p(E/A)p(A) p(E) = 0.1×0.7 0.085 = 70 85 = 14 17

      Donc, si le courrier a subi une erreur de transmission, la probabilité pour que le serveur utilisé soit le serveur A vaut 14 17 .
  2. Un jour donné, appelé le jour 1, on note les différents serveurs iitilisé par l'ordinateur par une suite de letters. Par exemple, la suite AABBBA signifie que les deux premiers jours l'ordinateur a choisi le serveur A, les jours 3. 4 et 5 il a choisi le le serveur B, et le jour 6 le serveur A. Dans cet exemple, on dit que l'on a une première série de longueur 2 et une deuxième série de longueur 3 (Ce qui est également le cas de la série BBAAAB)
    On note L1 la variable aléatoire représentant la longueur de la premièer série et L2 la variable aléatoire représentant la longueur de la deuxième série.
    Ainsi, pour k1, dire que L1 =k signifie que pendant les k premiers jours, c'est kle même serveur qui a été choisi et le jours suivant l'autre serveur.
    1. L1 =k signifie que pendant les k premiers jours, c'est le même serveur qui a été choisi et le jours suivant l'autre serveur.
      Ce serceur peut-être le A ou le B.
      Donc ( L1 =k)=( A1 Ak Bk+1 )( B1 Bk Ak+1 )
      Les deux parenthèses étant incompatibles P( L1 =k)=P( A1 Ak Bk+1 )+P( B1 Bk Ak+1 )
      et les choisx de serveurs sont indépendants donc

      P( L1 =k)=P( A1 )p( Ak )p( Bk+1 )+P( B1 )p( Bk )p( Ak+1 ) = (0.3)k (0.7)+ (0.7)k (0.3)

    2. On passe par la somme partielle :
      k=1 NP( L1 =k)= k=1 N (0.3)k (0.7)+ (0.7)k (0.3) =(0.7) k=1 N (0.3)k +(0.3) k=1 N (0.7)k =(0.7)( k=0 N (0.3)k -1)+(0.3)( k=1 N (0.7)k -1) 0.7( 1 1-0.3 -1)+0.3( 1 1-0.7 -1)=1

      la convzergence venant de |0.3|<1 et |0.7|<1. Donc
      k=1 +p( L1 =k)=1

    3. L1 a une espérance si k=1 +kP( L1 =k) est absolument convergente. ( convergente car kP( L1 =k)0 )

      k=1 N|kP( L1 =k)|= k=1 NkP( L1 =k) = k=1 Nk (0.3)k (0.7)+k (0.7)k (0.3) =(0.7) k=1 N (0.3)k +(0.3) k=1 N (0.7)k =(0.7)( k=0 Nk (0.3)k -0)+(0.3)( k=1 Nk (0.7)k -0) 0.7 0.3 (1-0.3)2 +0.3 0.7 (1-0.7)2 = 0.3 0.7 + 0.7 0.3 = 0.58 0.21

      donc k=1 +kp( L1 =k) est absolument convergente et sa somme vaut E( L1 )= 58 21
    4. Les valeurs possibles de L1 et de L2 sont [1,+[
      Comme précédemment on décompose ( L1 =i L2 =j) suivant que le premier serveur choisi a été A ou B:
      ( L1 =i L2 =j)=( k=1 i Ak k=i+1 i+j Bk Ai+j+1 )( k=1 i Bk k=i+1 i+j Ak Bi+j+1 )

      les deux parenthèses étant incompatibles et les choix de serveurs indépendants
      P( L1 =i L2 =j)= Πk=1 ip( Ak ) Πk=i+1 i+jp( Bk )×P( Ai+j+1 )+ Πk=1 ip( Bk ) Πk=i+1 i+jp( Ak )×P( Bi+j+1 ) =0. 7i ×0. 3j ×0.7+0. 3i ×0. 7j ×0.3 =0. 7i+1 ×0. 3j +0. 3i+1 ×0. 7j

    5. donc pour tout (i,j)\Bbb N* 2 :P( L1 =i L2 =j)=0. 7i+1 ×0. 3j +0. 3i+1 ×0. 7j
    6. La loi de L2 est la loi marginale :
      L2 (Ω)=\Bbb N* et pour tout j\Bbb N* :P( L2 =j)= i=1 +P( L1 =i L2 =j)

      i=1 NP( L1 =i L2 =j)= i=1 N(0. 7i+1 ×0. 3j +0. 3i+1 ×0. 7j ) =0. 3j i=1 N0. 7i+1 +0. 7j i=1 N0. 3i+1 réindexé k=i-1    =0. 3j k=0 N-10. 7k+2 +0. 7j k=0 N-10. 3k+2 0. 3j 0. 72 1-0.7 +0. 7j 0. 32 1-0.3

      quand N tend vers +, convergentes car |0.3|<1 et |0.7|<1
      donc P( L2 =j)=0. 3j 49 30 +0. 7j 9 70 pour j L2 (Ω)=\Bbb N*
  3. Soit n\Bbb N* . A partir d'un jour donné, que l'on appelera le jour 1, on note : Nn la variable aléatoire représentant le nombrede fois où l'ordinateur choisit le serveur A pendant les n premiers jours, T1 le numéro du jour où pour la première fois le serveur A est choisi et T2 le numéro du jour où pour la deuxième fois le serveur A est choisi.
    1. Nn est le nombre de choix du serveur A en n choix indépendants qui ont tous la même probabilité 0.7,
      Donc Nn B(n,0.7) et E( Nn )=0.7n et V(X)=0.21n
    2. T1 est le rang du premier choix de A dans une suite de choix indépendants qui ont tous la même probabiltié 0.7,
      Donc T1 G(0.7) et E( T1 )= 1 0.7 et V( T1 )= 0.3 0.49 = 30 49
    3. Pour k2, ( T2 =k) signifie que on a eu A au kième et que c'était le second. Donc qu'il n'y en avauit eu qu'un seul avant.
      Donc ( T2 =k)=( Nk-1 =1) Ak indépendants et k2,
         P( T2 =k)=P( Nk-1 =1)P( Ak ) = Ck-1 1 0. 71 0. 3k-1-1 ×0.7 =(k-1) (0.7)2 (0.3)k-2

  4. Le temps de transmission en seconde d'un message par le serveur A est une variable aléatoire Z qui suit une loi exponentiulle de paramètre 1.
    Le prix en euros W de cette trammission, est calculé de la façon suivante : on multiplie la durée de transmission en seconde par 0.1 euro, auquel on ajoute une somme forfaitaire de 1 euro.
    1. Une densité fZ de Z est { fZ (t)=0 si t<0 fZ (t)= e-t si t0 et sa fonction de répartition est { FZ (t)=0 si t<0 FZ (t)=1- e-t si t0
    2. Le temps moyen de transmission est l'espérance de Z soit E(Z)=1/1=1
    3. D'après l'énnoncé on a W=0.1×Z+1
    4. La fonction de répartition de W est donnée par :

      FW (t)=P(Wt)=P(0.1×Z+1t) =P(Z10t-10) = FZ (10t-10)

      Comme Z est à densité, FZ est continue sur \BbbR et de classe C1 sur \Bbb R* (là où fZ est continue)
      Donc FW est continue sur \BbbR et de classe C1 sur \BbbR-{1}
      Donc W es tà densité et une densité de W est donnée par fW (t)= FW ' (t)=10 fZ (10t-10)

      { fW (t)=0 si t<1 fZ (t)=10 e-10t-10 si t1

    5. Comme Z a une espérance, alors W=W=0.1×Z+1 également et
      E(W)=0.1E(Z)+1=0.1+1 =1.1

      Déterminer l'espérance de la variable W.
  5. On suppose que le temps de transmission d'un message en seconde par le serveur B est reprèsenté par la variable aléatoire X dont une densité de probabilité f est donnée par :
    { f(t)= te- t2 /2    si t0 f(t)=0    si t<0

    (On rappelle que 0 + e- t2 /2 dt= π 2 )
    1. f est positive sur \BbbR, continue par morceaux et on étudie la convergence de son intégrale :
      - 0 f= - 0 0=0 (converge)

      0 M f= 0 M te- t2 /2 dt = [- e- t2 /2 ]0 M =1- e- M2 /2 1

      quand M tend vers +
      Donc - + f converge et vaut 1 donc f est bien une densité de probabilité.
    2. La fonction de répartition FX de X est donnée par
      • si x0: FZ (t)= - x f(t)dt= - x 0=0
      • si x>0: FZ (t)= - 0 0+ 0 x te- t2 /2 =1- e- x2 /2
    3. X a une espérance si - + tf(t)dt converge.
      • - 0 tf(t)dt converge et est nulle.
      • pour M0: 0 M tf(t)dt= 0 M t2 e- t2 /2 dt que l'on intègre par parties.
        u(t)=t: u' (t)=1: v' (t)= te- t2 /2 :v(t)=- e- t2 /2 avec u et v de classe C1 sur \BbbR

        0 M tf(t)dt= [- te- t2 /2 ]0 M - 0 M e- t2 /2 dt =- Me- M2 /2 - 0 M e- t2 /2 dt

        La forme indéterminée Me- M2 /2 peut se lever en posant x= M2 +et Me- M2 /2 = xe-x/2 =x/(ex )0 car x est négligebale devant ex avec e>1
        Donc 0 M tf(t)dt π 2 quand mM tend vers +
      Finalement, - + tf(t)dt converge et vaut π 2 donc X a une espérance et E(X)= π 2



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On 11 Oct 2005, 22:25.