ECRICOME 2004
Une personne envoie chaque jour un courrier électronique par l'intermédiaire de deux serveurs : le serveur A ou le serveur B.
On constate que le serveur A est choisi dans 70% des cas et donc que le serveur B est choisi dans 30% des cas. (Ce qui revient à dire que la probabilité pour que le serveur A soit choisi est de 0.7). Les choix des serveurs sont supposés indépendants les uns des autres.
  1. Dans cette question, on suppose que la probabilité d'une erreur de transmission avec le serveur A est de 0.1, alors que la probabilité d'erreur de transmission avec le serveur B est de 0.05.
    1. Calculer la probabilité pour qu'il y ait une erreur de transmission lors de l'envoi d'un courrier.
    2. Si le courrier a subi une erreur de transmission, quelle est la probabilité pour que le serveur utilisé soit le serveur A ?
  2. Un jour donné, appelé le jour 1, on note les différents serveurs utilisé par l'ordinateur par une suite de lettres. Par exemple, la suite AABBBA signifie que les deux premiers jours l'ordinateur a choisi le serveur A, les jours 3. 4 et 5 il a choisi le le serveur B, et le jour 6 le serveur A. Dans cet exemple, on dit que l'on a une première série de longueur 2 et une deuxième série de longueur 3 (Ce qui est également le cas de la série BBAAAB)
    On note L1 la variable aléatoire représentant la longueur de la premièer série et L2 la variable aléatoire représentant la longueur de la deuxième série.
    Ainsi, pour k1, dire que L1 =k signifie que pendant les k premiers jours, c'est le même serveur qui a été choisi et le jours suivant l'autre serveur.
    1. Jusitifier soigneusement la formule :
      k1   P( L1 =k)= (0.3)k (0.7)+ (0.7)k (0.3)

    2. Vérifier par le calcul que
      k=1 +p( L1 =k)=1

    3. Déterminer l'espérance mathématique de L1 .
    4. Déterminer la loi du couple aléatoire ( L1 , L2 ).
    5. En déduire la loi de L2
  3. Soit n\Bbb N* . A partir d'un jour donné, que l'on appelera le jour 1, on note : Nn la variable aléatoire représentant le nombrede fois où l'ordinateur choisit le serveur A pendant les n premiers jours, T1 le numéro du jour où pour la première fois le serveur A est choisi et T2 le numéro du jour où pour la deuxième fois le serveur A est choisi.
    1. Déterminer la loi de Nn , son espérance mathématique et sa variance.
    2. Déterminer la loi de T1 , son espérance mathématique et sa variance.
    3. Montrer que
      k2,   P( T2 =k)=(k-1) (0.7)2 (0.3)k-2

  4. Le temps de transmission en seconde d'un message par le serveur A est une variable aléatoire Z qui suit une loi exponentielle de paramètre 1.
    Le prix en euros W de cette trammission, est calculé de la façon suivante : on multiplie la durée de transmission en seconde par 0.1 euro, auquel on ajoute une somme forfaitaire de 1 euro.
    1. Rappeler une densité fZ de Z ainsi que sa fonction de répartition FZ .
    2. Quel est le temps moyen (en seconde) de la transmission d'un message par le serveur A
    3. Exprimer W en fonction de Z.
    4. Montrer que mW est une variable al&atoire à densité. En déterminer une densité fW
    5. Déterminer l'espérance de la variable W.
  5. On suppose que le temps de transmission d'un message en seconde par le serveur B est reprèsenté par la variable aléatoire X dont une densité de probabilité f est donnée par :
    { f(t)= te- t2 /2    si t0 f(t)=0    si t<0

    (On rappelle que 0 + e- t2 /2 dt= π 2 )
    1. Vérifier que f est bien une densité de probabiltié.
    2. Déterminer la fonction de répartition FX de X.
    3. Calculer l'espérance de la variable X.



File translated from TEX by TTM, version 3.68.
On 11 Oct 2005, 22:23.