EML 1992

Soit N un entier naturel supérieur ou égal à 2 .

  1. Montrer les égalités suivantes : k = 1 N k = N ( N + 1 ) 2 , k = 1 N k 2 = N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) 6 ,

  2. Une urne contient une boule blanche, une boule verte et N 2 boules rouges. Ces boules sont indiscernables au toucher.

    On tire successivement les N boules sans remettre les boules tirées dans l'urne.

    On note X 1 la variable aléatoire égale au rang du tirage de la boule blanche et X 2 la variable aléatoire égale au rang du tirage de la boule verte.

    1. Soient i et j deux entiers compris entre 1 et N .

      Calculer la probabilité P i j pour que X 1 = i et X 2 = j .

      (On distinguera le cas i = j et le cas i j ) .

    2. Déterminer les lois des variables aléatoires X 1 et X 2 .

      Est-ce que les variables aléatoires X 1 et X 2 sont indépendantes ?

      Calculer les espérances et variances des variables aléatoires X 1 et X 2 .

    3. On note X la variable aléatoire égale au rang du tirage où l'on obtient pour la première fois soit la boule blanche soit la boule verte.

      On note Y la variable aléatoire égale au rang du tirage à partir duquel on a obtenu la boule blanche et la boule verte.

      Remarque : en fait X = inf ( X 1 , X 2 ) et Y = sup ( X 1 , X 2 )

      Par exemple, si on a tiré rouge, rouge, verte, rouge, blanche, alors X 1 = 5 et X 2 = 3 et X = 3 et Y = 5

      Déterminer les lois des variables aléatoires X et Y .

      Calculer les espérances des variables aléatoires X et Y .