Corrigé ECRICOME 2005 par Pierre Veuillez

On effectue une suite de lancers d'une pièce de monnaie. On suppose que les résultats des lancers sont indépendants et qu'à chaque lancer, la pièce donne pile avec la probabilité p ( 0 < p < 1 ) et face avec la probabilité q = 1 p .

On s'intéresse dans cet exercice à l'apparition de deux piles consécutifs.

Pour tout entier naturel n non nul, on note A n l'événement :``deux piles consécutifs sont réalisés pour la première fois aux lancers numéro n et n + 1 ``.

On définit alors la suite ( a n ) n des probabilités des événements A n par :

Encadrement des racines de l'équation caractéristique.

On considère la fonction polynômiale f de la variable réelle x définie par :

f ( x ) = x 2 q x p q

  1. f ( x ) = 0 est une équation du second degré qui a pour discriminant : Δ = q 2 + 4 p q > 0

    Donc elle a deux racines distinctes : r 1 = q Δ 2 et r 2 = q + Δ 2 (pour que r 1 < r 2 )

  2. A voire la suite (valeurs intermédiaires) , on détermine les signes :

  3. Comme f est continue et que 0 ] f ( 0 ) , f ( 1 ) [ alors il existe x ] 1 , 0 [ tel que f ( x ) = 0 et de même il existe x ] 0 , 1 [ tel que f ( x ) = 0.

    Comme f ( x ) = 0 n'a pour racines que r 1 et r 2 alors 1 < r 1 < 0 < r 2 < 1

    Variante : le tableau de variation de f est :

    x r 1 r 2
    f ( x ) + 0 0 +
    comme f ( 0 ) < 0 , f ( 1 ) > 0 et f ( 1 ) > 0 on a par exclusion : 1 < r 1 < 0 < r 2 < 1

    Donc | r 2 | < 1 et | r 1 | < 1

    Enfin, comme r 2 > 0 et r 1 < 0 : | r 2 | = r 2 et | r 1 | = r 1

    Et comme q > 0 : r 1 = Δ q 2 < q + Δ 2 = r 2

    Conclusion :

    | r 1 | < | r 2 | < 1

Equivalent de a n quand n tend vers l'infini.

  1. On décompose les événements pour calculer leurs probabilités en notant P 1 P 2 pour P 1 P 2

  2. Pour la réalisation de A n + 2 :

    ou

    Donc p ( A n + 2 ) = p ( P 1 F 2 ) p ( A n ) + p ( F 1 ) p ( A n + 1 )

    car premier P P n lancers pus tard est indépendant de P 1 F 2 et le premier P P doit intervenir n + 1 lancers plus tard est indépendant de F 1

    D'où a n + 2 = q a n + 1 + p q a n et a n + 2 q a n + 1 p q a n = 0 qui est encore vraie pour n = 0 ( a 2 q a 1 p q 0 = 0 )

  3. Ecrire un programme, en langage Pascal, permettant de calculer a n , l'entier n , les réels p et q étant donnés par l'utilisateur.

    On a, pour n 1 : a n + 2 = q a n + 1 + p q a n

    Donc les termes vont pouvoir être calculés par récurrence à partir de a 3 , en fonction des deux précédents :

    La difficulté vient de ce qu'il faut avoir les deux précédents pour calculer le suivant :

    Program suite;

    var a,b,c,p,q:real;n,k:integer;

    begin

    writeln('p, n ?');readln(p,n); q:=1-p;

    a:=0; {a0}

    b:=p*p; {a1}

    if n=0 then wrtilen(a);

    if n=1 then wrtilen(b);

    if n>=2 then for k:=2 to n do {on calcule de a2 à an}

    begin

    c:=q*b+p*q*a; {an+2}

    a:=b; {an pour n+1 au lieu de n : an+1}

    b:=c; {an+1 pour n+1 au lieu de n : an+2 }

    end;

    writeln(b);

    end.

  4. La suite a est récurrente linéaire d'ordre 2 à coefficients constants.

    Son équation caractéritique est : x 2 q x + p q = 0 qui a pour racines r 1 et r 2

    Donc pour tout entier n 1 , a n = α r 1 n + β r 2 n avec α et β déterminés par a 0 et a 1

    Variante : on résout directement { a 0 = 0 = α + β a 1 = p 2 = α r 1 + β r 2 d'où { β = α p 2 = α ( r 1 r 2 )
    et α = p 2 r 2 r 1 et β = p 2 r 2 r 1

    Conclusion :

    pour tout n 1 : a n = p 2 r 2 r 1 [ r 2 n r 1 n ] et également pour n = 0

  5. On a a n = p 2 r 2 r 1 [ r 2 n r 1 n ] = p 2 r 2 n r 2 r 1 [ 1 ( r 1 r 2 ) n ] et comme | r 1 r 2 | < 1 alors ( r 1 r 2 ) n 0 d'où [ 1 ( r 1 r 2 ) n ] 1 et

    Conclusion :

    a n p 2 r 2 n r 2 r 1 lorsque n tend vers plus l'infini.

Expression de a n en fonction de n par une méthode matricielle.

On définit les matrices A et P par : A = ( r 1 + r 2 r 1 r 2 1 0 ) , P = ( r 1 r 2 1 1 ) ainsi que les matrices unicolonnes X n par : Pour tout entier naturel  n : X n = ( a n + 1 a n )

  1. On a pour tout entier n : X n + 1 = ( a n + 2 a n + 1 ) = ( q a n + 1 + p q a n a n + 1 ) = ( q p q 1 0 ) ( a n + 1 a n )

    et comme r 1 + r 2 = q et r 1 r 2 = p q on a bien alors

    X n + 1 = A X n

  2. A r 1 I = ( r 2 r 1 r 2 1 r 1 ) et comme la seconde colonne est r 1 la première, elles sont liées et la matrice est non inversible.

    A r 2 I = ( r 1 r 1 r 2 1 r 2 ) et comme la seconde colonne est r 2 la première, elles sont liées et la matrice est non inversible.

  3. Donc r 1 et r 2 sont valeurs propres de A .

    Comme elles sont distinctes et que A est de taille 2 alors A est diagonalisable.

  4. Au vu de la suite, on se doute que P est la matrice de passage et on test donc ses colonnes comme colonnes propres :

    ( r 1 + r 2 r 1 r 2 1 0 ) ( r 1 1 ) = ( r 1 2 r 1 ) = r 1 ( r 1 1 ) donc elle est colonne propre associée à r 1

    ( r 1 + r 2 r 1 r 2 1 0 ) ( r 2 1 ) = ( r 2 2 r 2 ) = r 2 ( r 2 1 ) donc elle est colonne propre associée à r 2

    Donc la concaténation de ces 2 colonnes propres associées à des valeurs propres distinctes forme une matrice inversible

    et A = P D P 1 avec D = ( r 1 0 0 r 2 )

    On calcule P 1 , par Gauss :

    ( r 1 r 2 1 0 1 1 0 1 ) L 2 L 1 ( 1 1 0 1 r 1 r 2 1 0 ) L 1 L 2 r 1 L 1 ( 1 1 0 1 0 r 2 r 1 1 r 1 ) L 1 L 2 / ( r 2 r 1 ) L 2 / ( r 2 r 1 ) ( 1 0 1 r 2 r 1 r 2 r 2 r 1 0 1 1 r 2 r 1 r 1 r 2 r 1 ) L 1 L 2 / ( r 2 r 1 ) L 2 / ( r 2 r 1 )

    donc P 1 = 1 r 2 r 1 ( 1 r 2 1 r 1 )

  5. On a vu que D = ( r 1 0 0 r 2 )

  6. Par récurrence :

  7. Comme D est diagonale, D n = ( r 1 n 0 0 r 2 n ) et X n = P D n ( 1 r 2 1 r 1 ) ( p 2 0 ) = 1 r 2 r 1 P ( r 1 n 0 0 r 2 n ) ( p 2 p 2 ) = 1 r 2 r 1 ( r 1 r 2 1 1 ) ( r 1 n p 2 r 2 n p 2 ) = 1 r 2 r 1 ( ( r 1 r 2 n r 2 r 1 n ) p 2 ( r 2 n r 1 n ) p 2 ) dont la seconde composante est a n = p 2 r 2 r 1 [ r 2 n r 1 n ] (qui est bien le résultat trouvé précédemment)

Etude du temps d'attente du premier double pile .

On désigne par T l'application associant à toute suite de lancers successifs le numéro du lancer où pour la première fois on obtient un double pile.

Ainsi, pour tout entier naturel n ,

p [ T = n + 1 ] = a n

  1. On calcule la somme partielle :

    n = 1 N p [ T = n + 1 ] = n = 1 N a n = n = 1 N p 2 r 2 r 1 [ r 2 n r 1 n ] = p 2 r 2 r 1 [ n = 1 N r 2 n n = 1 N r 1 n ] = p 2 r 2 r 1 [ n = 0 N r 2 n 1 n = 0 N r 1 n + 1 ] p 2 r 2 r 1 [ 1 1 r 2 1 1 r 1 ] converge car | r 1 | < 1 et | r 2 | < 1 donc n = 1 + p [ T = n + 1 ] converge et vaut : n = 1 + p [ T = n + 1 ] = p 2 r 2 r 1 [ 1 1 r 2 1 1 r 1 ] = p 2 r 2 r 1 r 2 r 1 ( 1 r 2 ) ( 1 r 1 ) = p 2 1 ( r 1 + r 2 ) + r 1 r 2 = p 2 1 q p q = p 2 p p q = p 1 q = p p = 1

    Donc T est une variable aléatoire.

  2. T a une espérance si n = 1 + ( n + 1 ) p [ T = n + 1 ] est absolument convergente. (ce qui équivaut à la convergence simple puisque les valeurs de T sont toutes positives)

    n = 1 N ( n + 1 ) p [ T = n + 1 ] = n = 1 N ( n + 1 ) a n = n = 1 N n a n + n = 1 N a n = p 2 r 2 r 1 n = 1 N n [ r 2 n r 1 n ] + n = 1 N a n = p 2 r 2 r 1 [ n = 0 N n r 2 n 0 n = 0 N n r 1 n + 0 ] + n = 1 N a n p 2 r 2 r 1 [ r 2 ( 1 r 2 ) 2 r 1 ( 1 r 1 ) 2 ] + 1 Donc T a une espérance qui vaut E ( T ) = p 2 r 2 r 1 [ r 2 ( 1 r 2 ) 2 r 1 ( 1 r 1 ) 2 ] + 1 = p 2 r 2 r 1 [ r 2 ( 1 r 1 ) 2 r 1 ( 1 r 2 ) 2 [ ( 1 r 2 ) ( 1 r 1 ) ] 2 ] + 1

    avec ( 1 r 2 ) ( 1 r 1 ) = 1 ( r 1 + r 2 ) + r 1 r 2 = 1 q p q = p p q = p ( 1 q ) = p 2

    et r 2 ( 1 r 1 ) 2 r 1 ( 1 r 2 ) 2 = r 2 ( 1 2 r 1 + r 1 2 ) r 1 ( 1 2 r 2 + r 2 2 ) = r 2 2 r 1 r 2 + r 2 r 1 2 r 1 + 2 r 1 r 2 r 1 r 2 2 = r 2 + r 2 r 1 2 r 1 r 1 r 2 2 = r 2 r 1 + r 1 r 2 ( r 1 r 2 ) = ( r 2 r 1 ) ( 1 r 1 r 2 ) = ( r 2 r 1 ) ( 1 + p q ) donc E ( T ) = p 2 r 2 r 1 [ r 2 ( 1 r 1 ) 2 r 1 ( 1 r 2 ) 2 [ ( 1 r 2 ) ( 1 r 1 ) ] 2 ] + 1 = p 2 r 2 r 1 ( r 2 r 1 ) ( 1 + p q ) p 4 + 1 = 1 + p q p 2 + 1 = 1 + p q + p 2 p 2 = 1 + p ( q + p ) p 2 = 1 + p p 2