ECRICOME 2005

On effectue une suite de lancers d'une pièce de monnaie. On suppose que les résultats des lancers sont indépendants et qu'à chaque lancer, la pièce donne pile avec la probabilité p ( 0 < p < 1 ) et face avec la probabilité q = 1 p .

On s'intéresse dans cet exercice à l'apparition de deux piles consécutifs.

Pour tout entier naturel n non nul, on note A n l'événement :``deux piles consécutifs sont réalisés pour la première fois aux lancers numéro n et n + 1 ``.

On définit alors la suite ( a n ) n des probabilités des événements A n par :

Encadrement des racines de l'équation caractéristique.

On considère la fonction polynômiale f de la variable réelle x définie par :

f ( x ) = x 2 q x p q

  1. Montrer que l'équation f ( x ) = 0 possède deux racines réelles distinctes r 1 et r 2 ( r 1 < r 2 ). Exprimer r 1 + r 2 , r 1 r 2 en fonction de p et q .

  2. Calculer f ( 1 ) , f ( 1 ) , f ( 0 ) .

  3. En déduire l'encadrement suivant : | r 1 | < | r 2 | < 1

Equivalent de a n quand n tend vers l'infini.

  1. Déterminer a 1 , a 2 et a 3 en fonction de p et q .

  2. En remarquant que l'événement A n + 2 est réalisé si et seulement si :

    montrer que l'on a, pour tout entier naturel n , a n + 2 q a n + 1 p q a n = 0

  3. Ecrire un programme, en langage Pascal, permettant de calculer a n , l'entier n , les réels p et q étant donnés par l'utilisateur.

  4. Montrer que pour tout entier, naturel n , a n = p 2 r 2 r 1 [ r 2 n r 1 n ]

  5. Donner un équivalent de a n lorsque n tend vers plus l'infini.

Expression de a n en fonction de n par une méthode matricielle.

On définit les matrices A et P par : A = ( r 1 + r 2 r 1 r 2 1 0 ) , P = ( r 1 r 2 1 1 ) ainsi que les matrices unicolonnes X n par : Pour tout entier naturel  n : X n = ( a n + 1 a n )

  1. Vérifier que pour tout entier naturel n : X n + 1 = A X n

  2. Montrer que les matrices A r 1 I et A r 2 I ne sont pas inversibles. ( I désigne la matrice carrée unité d'ordre 2).

  3. En déduire que A est diagonalisable.

  4. Montrer que P est inversible et déterminer P 1 .

  5. Calculer la matrice D = P 1 A P . (Les coefficients de la matrice D seront exprimés en fonction de r 2 et r 1 seulement).

  6. Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel n : X n = P D n P 1 X 0

  7. Retrouver ainsi l'expression de a n en fonction de r 2 , r 1 , p et n .

Etude du temps d'attente du premier double pile .

On désigne par T l'application associant à toute suite de lancers successifs le numéro du lancer où pour la première fois on obtient un double pile.

Ainsi, pour tout entier naturel n ,

p [ T = n + 1 ] = a n

  1. Montrer que T est une variable aléatoire, c'est-à-dire que : n = 1 + p [ T = n + 1 ] = 1

  2. Prouver que T admet une espérance E ( T ) et que : E ( T ) = 1 + p p 2