Corrigé HEC 2005 par Pierre Veuillez

Dans tout le problème, n désigne un entier naturel non nul.

On considère une urne blanche contenant n boules blanches numérotées de 1 à n et une urne noire contenant n boules noires numérotées de 1 à n , dans lesquelles on effectue des suites de tirages. À chaque tirage, on tire simultanément et au hasard une boule de chaque urne. On obtient ainsi à chaque tirage, deux boules, une blanche et une noire.

On dira qu'on a obtenu une paire lors d'un tirage, si la boule blanche et la boule noire tirées portent le même numéro.

Partie I. Tirages avec remise

  1. Dans cette question, on effectue les tirages avec remise jusqu'à ce que l'on obtienne pour la première fois une paire.

    1. Pour chaque tirage, l'espace probabilisé ( Ω , 𝒜 , P ) qui modélise cette expérience est formé de

      • l'univers formé par les couples de numéros de 1 à n ,

      • la tribut est la partition de l'univers

      • munis de la probabilité équiprobables.

    2. On note Y la variable aléatoire égale au nombre de tirages (de deux boules) effectués.

      La probabilité d'obtenir une paire est n n 2 = 1 n à chaque tirage.

      Donc Y a la même loi que le rang de la première paire dans une suite (le fait d'arrêter les tirage à la première paire ne change pas le rang de cette première paire) de tirage indépendants et de même probabilité 1 n .

      Donc Y 𝒢 ( 1 n )

      E ( Y ) = n et V ( Y ) = n 2 ( 1 1 n ) = n ( n 1 )

  2. Écrire en Pascal une fonction dont l'en-tête est pgrml (n : integer): integer qui modélise l'expérience précédente.

    function pgrml (n : integer): integer;

    var i:integer;

    i:=0;randomize;

    repeat

    i+1;

    until random(n)=random(n);

    pgrml:=i;

    end;

    Dans cette question, on suppose que n = 2 . On effectue des tirages avec remise jusqu'à ce que l'on obtienne pour la première fois la boule blanche numérotée 1. On note U la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués, et Z la variable aléatoire égale au nombre de paires obtenues à l'issue de ces tirages.

    1. En notant A k pour obtenir la boule blanche numéro 1 au k -ième tirage,

      ( U = k ) = A 1 \dots A k 1 A k

      Les tirage ne sont pas indépendants car ils s'arrêtent dès que l'on a le 1 blanc.

      P ( U = k ) = P ( A 1 ) \dots P A 1 \dots A k 2 ( A k 1 ) P A 1 \dots A k 1 ( A k ) le conditionnement s'interprétant par la continuation des tirages.

      Conclusion :

      pour tout k * : P ( U = k ) = ( 1 2 ) k 1 1 2

      N.B. On pouvait aussi dire que U était sans mémoire, puisque, tant que l'on a pas la Blanche 1, la probabilité de l'obtenir reste la même : 1 2 . Donc U 𝒢 ( 1 2 ) . Mais on n'avait plus alors à reconnaître la loi de U .

      Ne jamais obtenir la boule blanche est l'événement contraire de ''l'obtenir au moins une fois'' donc de k = 1 + ( U = k )

      Sa probabilité est : (la série converge et) P ( k = 1 + ( U = k ) ) = k = 1 + P ( U = k ) = k = 1 + ( 1 2 ) k = k = 0 + ( 1 2 ) k 1 = 1 1 1 2 1 = 1 Conclusion :

      la probabilité que l'on n'obtienne jamais la boule blanche numéro 1 est nulle

      Et on reconnaît une loi géométrique de raison 1 2

    2. On a U ( Ω ) = * et Z ( Ω ) =

      Soient i * et j

      On remarque que le nombre de paires est toujours inférieur ou égal au nombre de tirages (doubles) donc

      • Si j > i alors P ( U = i Z = j ) = 0

      • Si i j alors P ( U = i Z = j ) = P ( U = i ) P U = i ( Z = j )

        Quand U = i , lors des i 1 premiers tirages, on n'a pas obtenu de 1 blanc mais uniquement des 2 blanc et une 1 blanche au dernier.

        A chaque tirage, on a donc une probabilité 1 2 que la boule noire forme une paire.

        Le nombre Z de paires obtenues en i tirages(des boules noires), la probabilité de chacun de donner une paire étant de 1 2 , suit une loi binomiale de paramètres ( i , 1 2 ) et pour i j : P U = i ( Z = j ) = ( 1 2 ) i ( i j )

        et finalement P ( U = i Z = j ) = ( 1 2 ) 2 i ( i j ) = ( 1 4 ) i ( i j )

      En conclusion : P ( U = i Z = j ) = { 0 si  j > i ( 1 4 ) i ( i j ) si  j i

    3. La loi de Z est la loi marginale du couple donc (la série converge et) P ( Z = k ) = = 1 + P ( U = Z = k ) = = 1 k 1 P ( U = Z = k ) + = k + P ( U = Z = k ) = = k + ( 1 4 ) ( k )

      le découpage de la somme est valide pour k 1 1

      Le résultat reste exact pour k = 1 (où il n'y a pas besoin de découper la somme)

      Conclusion :

      pour tout k de * , P ( Z = k ) = = k + ( k ) ( 1 4 )

    4. On a donc P ( Z = 1 ) = = 1 + ( 1 ) ( 1 4 ) = = 0 + ( 1 4 ) 0 = 1 4 ( 1 1 4 ) 2 = 4 9

      car | 1 4 | < 1

      Et comme précédemment, en revenant à la loi marginale, P ( Z = 0 ) = = 1 + P ( U = Z = 0 ) = = 1 + ( 1 4 ) ( 0 ) = = 0 + ( 1 4 ) 1 = 1 1 1 4 1 = 4 3 1 = 1 3

    5. On réécrit ( i + 1 ) = ( 1 i ) + ( 1 i + 1 )

      donc P ( Z = i + 1 ) = = i + 1 + ( i + 1 ) ( 1 4 ) = = i + 1 + [ ( 1 i ) ( 1 4 ) + ( 1 i + 1 ) ( 1 4 ) ] dont on calcule la somme partielle pour étudier la convergence de chaque partie prise séparément : = k M [ \dots ] = = i + 1 M ( 1 i ) ( 1 4 ) + = i + 1 M ( 1 i + 1 ) ( 1 4 )  réindexé  j = 1 = j = i M 1 ( j i ) ( 1 4 ) j + 1 + j = i M 1 ( j i + 1 ) ( 1 4 ) j + 1 = 1 4 j = i M 1 ( j i ) ( 1 4 ) j + 1 4 j = i + 1 M 1 ( j i + 1 ) ( 1 4 ) j + 0  converge et 1 4 j = i + ( j i ) ( 1 4 ) j + 1 4 j = i + 1 + ( j i + 1 ) ( 1 4 ) j  quand  M + = 1 4 P ( Z = i ) + 1 4 P ( Z = i + 1 )

      Conclusion :

      P ( Z = i + 1 ) = 1 4 P ( Z = i + 1 ) + 1 4 P ( Z = i ) pour tout i *

      Pour i = 0 , j = 0 + ( j 0 ) ( 1 4 ) j P ( Z = 0 ) donc la formule précédente n'est plus vraie.

    6. On a donc pour tout i 1 : 3 4 P ( Z = i + 1 ) = 1 4 P ( Z = i ) et donc
      P ( Z = i + 1 ) = 1 3 P ( Z = i )

      Suite géométrique de raison 1 3 et de premier terme P ( Z = 1 ) = 4 9

      Conclusion :

      donc pour tout i 1 : P ( Z = i ) = 4 9 ( 1 3 ) i 1 et pour i = 0 : P ( Z = 0 ) = 1 3

Partie II. Tirages sans remise.

Dans cette partie, les tirages se font sans remise dans les deux urnes, jusqu'à ce que les urnes soient vides. On note X n le nombre de paires obtenues à l'issue des n tirages.

A. Étude de cas particuliers.

  1. Pour n = 1 , il n'y a qu'une boule et elle porte le numéro 1 dans chaque urne

    On est donc sur d'avoir la paire de 1 au premier tirage et X 1 est la variable certaine égale à 1.

  2. On suppose dans cette question que n = 2 .

    Ici, on effectue deux tirages.

    On peut donc obtenir (en codant 12 1 pour blanche 1 et noire 2 au premier tirage)

    On a alors P ( X 2 = 0 ) = P ( 12 1 21 2 ) + P ( 21 1 12 2 )  (incompatibles) = P ( 12 1 ) P 12 1 ( 21 2 ) + P ( 21 1 ) P 21 1 ( 12 2 ) = 1 4 1 + 1 4 1 = 1 2

    car lorsque l'on a obtenu 1 dans l'urne blanche il n'y reste que le 2 (de même pour l'urne noire)

    Conclusion :

    X 2 ( Ω ) = { 0 , 2 } et P ( X 2 = 0 ) = 1 2 et P ( X 2 = 2 ) = 1 2

B. Étude du cas général.

On se place dans le cas où n est un entier naturel non nul.

    1. Ω est l'ensemble des couples de n -permutations (la première pour les résultats de l'urne blanche et l'autre pour ceux de l'urne noire)

    2. On a donc le cardinal de Ω qui est : | Ω | = ( n ! ) 2

    3. En n tirages on aura au maximum n paires donc X n ( Ω ) [ [ 0 , n ] ] .

      Quel est exactement X n ( Ω ) ? ? ?

      On ne peut pas, comme précédemment avoir X n = n 1 , car si on a n 1 paires, il reste deux numéros identique pour le tirage où il ne doit pas y avoir de paire....?

      Pour tout entier naturel k , on note a ( n , k ) le cardinal de { ω Ω | X n ( ω ) = k } . Par convention, a ( 0 , 0 ) = 1 .

    1. On a j = 0 n a ( n , j ) = | Ω | = ( n ! ) 2 (pour n 1 et également vraie pour n = 0 )

    2. Une suite de tirages ne comportant que des paires est déterminée par les tirage dans l'urne blanche (donc il y en a autant que de permutations de n éléments).

      Conclusion :

      a ( n , n ) = n !

      Comme dit précédemment, si on a déjà n 1 paire, il reste deux numéros identiques, et donc on obtient n paires.

      On ne peut donc pas avoir n 1 paires

      Conclusion :

      a ( n , n 1 ) = 0

    1. Les événements élémentaires comprenant j paires sont déterminés par :

      • l'ensemble des j tirage où sont obtenues ses paires, (il y en a ( n j ) )

      • la liste sans répétition des j numéros des paires (dans leur ordre de sortie) il y en a n ! ( n j ) !

      • la liste des n j tirage restants qui sont sans paires parmi les les n j numéros restants (il y en a a ( n j , 0 ) )

      Donc a ( n , j ) = ( n j ) n ! ( n j ) ! a ( n j , 0 ) et donc pour tout entier j tel que 0 j n , l'égalité suivante : a ( n , j ) n ! = ( n j ) a ( n j , 0 ) ( n j ) ! Comme ( n j ) = ( n n j ) et que j = 0 n a ( n , j ) = ( n ! ) 2 n ! = j = 0 n a ( n , j ) n ! = j = 0 n ( n j ) a ( n j , 0 ) ( n j ) ! = j = 0 n ( n n j ) a ( n j , 0 ) ( n j ) ! que l'on réindexe par n j = i (qui est bijective de [ [ 0 , n ] ] dans [ [ 0 , n ] ] )pour obtenir i = 0 n ( n i ) a ( i , 0 ) i ! = n ! et dans cette somme on isole a ( n , 0 ) : n ! = j = 0 n 1 ( n j ) a ( j , 0 ) j ! + ( n n ) a ( n , 0 ) n ! et donc a ( n , 0 ) = n ! ( n ! j = 0 n 1 ( n j ) a ( j , 0 ) j ! )

    2. Soit k un entier compris entre 1 et n et i un entier compris entre 0 et k 1 .

      Pour 0 i j k (et donc 0 j i k i ) on a les écriture en factorielles : ( j i ) ( k j ) = j ! i ! ( j i ) ! k ! j ! ( k j ) ! = k ! i ! ( j i ) ! ( k j ) !  et  ( k i ) ( k i j i ) = k ! i ! ( k i ) ! ( k i ) ! ( j i ) ! ( k i j + i ) ! = k ! i ! ( j i ) ! ( k j ) ! d'où l'égalité ( j i ) ( k j ) = ( k i ) ( k i j i ) ,

      On a alors j = i k ( 1 ) j ( j i ) ( k j ) = j = i k ( 1 ) j ( k i ) ( k i j i ) = ( k i ) j = i k ( 1 ) j ( k i j i )  réindexé  = j i = ( k i ) = 0 k i ( 1 ) + i ( k i ) = ( 1 ) i ( k i ) = 0 k i ( 1 ) ( k i ) = ( 1 ) i ( k i ) ( 1 1 ) k i = 0  car  k i * Et finalement j = i k 1 ( 1 ) j ( j i ) ( k j ) + ( 1 ) k ( k i ) ( k k ) = 0  d'où j = i k 1 ( 1 ) j ( j i ) ( k j ) = ( 1 ) k + 1 ( k i )

    1. Soit k un entier tel que 1 k n .

      On suppose que, pour tout entier j compris entre 0 et k 1 , on a les k égalités : a ( j , 0 ) = j ! i = 0 j ( j i ) ( 1 ) j i i ! On a vu que a ( k , 0 ) = k ! ( k ! j = 0 k 1 ( k j ) a ( j , 0 ) j ! ) et par hypothèse a ( j , 0 ) = j ! i = 0 j ( j i ) ( 1 ) j i i ! pour tout j de 0 à k 1 donc

      a ( k , 0 ) = k ! ( k ! j = 0 k 1 [ ( k j ) 1 j ! j ! i = 0 j ( j i ) ( 1 ) j i i ! ] ) = k ! ( k ! j = 0 k 1 [ ( k j ) i = 0 j ( j i ) ( 1 ) j i i ! ] ) = k ! ( k ! j = 0 k 1 i = 0 j [ ( k j ) ( j i ) ( 1 ) j i i ! ] ) on inverse alors les deux pour faire réapparaître la somme du 3b)

      j = 0 k 1 i = 0 j = i j k 1 = i = 0 k 1 j = i k 1 et donc a ( k , 0 ) = k ! ( k ! i = 0 k 1 j = i k 1 [ ( k j ) ( j i ) ( 1 ) j i i ! ] ) = k ! ( k ! i = 0 k 1 [ i ! ( 1 ) i j = i k 1 ( k j ) ( j i ) ( 1 ) j ] ) = k ! ( k ! i = 0 k 1 [ i ! ( 1 ) i ( 1 ) k + 1 ( k i ) ] ) avec ( 1 ) i = ( 1 ) i on a alors a ( k , 0 ) = k ! ( k ! + i = 0 k 1 [ ( k i ) ( 1 ) k i i ! ] ) et comme ( k k ) ( 1 ) k k k ! = k ! , on récupère le terme manquant pour i = k et donc

      a ( k , 0 ) = k ! i = 0 k ( k i ) ( 1 ) k i i !

    2. On a alors par récurrence :

      • Pour k = 0 on a a ( 0 , 0 ) = 1 et 0 ! i = 0 0 ( 0 i ) ( 1 ) 0 i i ! = ( 0 0 ) ( 1 ) 0 0 0 ! = 1 d'où l'égalité.

      • Soit k tel que pour tout j k : a ( k , 0 ) = k ! i = 0 k ( k i ) ( 1 ) k i i ! alors

        On a également a ( k + 1 , 0 ) = ( k + 1 ) ! i = 0 k + 1 ( k + 1 i ) ( 1 ) k + 1 i i ! d'après la question précédente.

        et donc pour tout j k + 1 l'égalité est vérifiée.

      • Donc, par récurrence, pour tout entier k on a a ( k , 0 ) = k ! i = 0 k ( k i ) ( 1 ) k i i !

      Conclusion :

      Pour tout entier k : a ( k , 0 ) = k ! i = 0 k ( k i ) ( 1 ) k i i !

    3. Les valeurs de X n sont comprises dans [ [ 0 , n ] ]

      On a vu que la valeur n 1 n'était pas possible.

      La valeur n est obtenue pour 11 1 22 2 \dots n n n par exemple

      Pour tout i de [ [ 0 \dots n 2 ] ] , la valeur i est obtenue avec
      11 1 \dots i i i ( i + 1 , i + 2 ) i + 1 \dots ( n 1 , n ) n 1 ( n , i + 1 ) n

      Donc les valeurs possibles de X n sont X n ( Ω ) = [ [ 0 , n ] ] \ { n 1 }

      et pour tout j de X n ( Ω )

      • P ( X n = j ) = a ( n , j ) ( n ! ) 2 avec

      • a ( n , j ) = ( n j ) n ! ( n j ) ! a ( n j , 0 ) et

      • a ( n j , 0 ) = ( n j ) ! i = 0 n j ( n j i ) ( 1 ) n j i i ! donc P ( X n = j ) = ( n j ) 1 n ! i = 0 n j ( n j i ) ( 1 ) n j i i ! = n ! j ! ( n j ) ! 1 n ! i = 0 n j ( n j ) ! i ! ( n i j ) ! ( 1 ) n j i i ! = ( 1 ) n j j ! i = 0 n j ( 1 ) i ( n i j ) ! ce qui définit la loi de X n .

Partie III. Tirages mixtes

Dans cette partie, les tirages se font sans remise dans l'urne blanche et avec remise dans l'urne noire, jusqu'à ce que l'urne blanche soit vide. On note X n , le nombre de paires obtenues à l'issue des n tirages.

    1. On effectue ici n tirages.

      La probabilité que l'urne noire donne le même résultat que l'urne blanche est de 1 n (car tous les numéros de [ [ 1 , n ] ] sont équiprobables à chaque triage dans m'urne noire, puisqu'on remet les numéros)

      Donc X n est le nombre de paires obtenues en n tirages indépendants dans l'urne noire (ceux dans l'urne blanche sont hautement dépendants) qui ont tous la probabilité 1 n de donner une paire.

      Conclusion :

      X n ( n , 1 n )

    2. Et on a E ( X n ) = n 1 n = 1 et V ( X n ) = n 1 n ( 1 1 n ) = n 1 n Donner, sans démonstration, l'espérance et la variance de X n .

    On désire modéliser cette expérience. On suppose que n est une constante fixée.

  1. type tab=array[1..n]of integer;var blanc,noir:tab;


    1. Soit s un tableau de type tab. Écrire une procédure dont l'en-tête est ECHANGE(Var s : tab ; i, j: integer) qui échange les éléments s[i] et s[j] du tableau s.

      Procedure ECHANGE(Var s : tab ; i, j: integer);

      var c:integer;

      begin

      c:=s[i];s[i]:=s[j];s[j]:=c;

      end;

    2. On considère les lignes de programme suivantes utilisant la procédure ECHANGE.

      Begin

      For i :=1 to n do blanc[i] :=i;

      For i :=1 to n-1 do

      Begin

      j :=RANDOM(n+l-i)+i ;

      ECHANGE(blanc,i,j) ;

      end ;

      writeln;

      For i :=1 to n do write(blanc[i],' ')

      end.

      Expliquer le fonctionnement de ce programme et son résultat.

      • For i :=1 to n do blanc[i] :=i; initialise chaque case du tableau à son index.

      • For i :=1 to n-1 do pour chaque case (sauf la dernière)

      • j :=RANDOM(n+l-i)+i choisit au hasard une case entre la i et la n à partir de la i ème

      • ECHANGE(blanc,i,j) ; puis met dans la case i le chiffre alors contenu dans la case j et rend disponible dans la case j l'ancien contenu de la case i .

      Cette séquence simule le tirage sans remise. Les numéros non encore tirés sont repoussés à chaque fois dans les cases restantes.

      A la sortie, le tableau blanc contient la liste des chiffres choisis.

    3. Construire une procédure qui s'appellera INITIALISE permettant de simuler le tirage sans remise et au hasard des n boules numérotées, en mettant dans la variable s[i] le numéro de la i -ème boule tirée.

      Procedure INITIALISE(var s:tab);

      var i,j:integer;

      egin

      For i :=1 to n do s[i] :=i;

      For i :=1 to n-1 do

      Begin

      j :=RANDOM(n+l-i)+i ;

      ECHANGE(s,i,j) ;

      end ;

      end.


  2. Écrire un programme complet permettant de simuler l'expérience de cette partie III lorsque n = 20 , puis de donner la valeur de X n (Il n'est pas nécessaire ici de recopier les procédures ECHANGE et INITIALISE).

    program simule;

    const n=20;

    type tab=array[1..n]of integer;

    var blanc,noir:tab;compte,i:integer;

    procedure echange ...;

    procedure initialise ...;

    begin

    initialise(blanc);

    compte:=0;

    for i:=1 to 20 do

    if random(n)+1=blanc[i] then compte:=compte+1;

    writlen('on a obtenu ',compte,'paires');

    end.