ESSEC 2002

probabilités et simulation informatique



On considère une suite de lancers successifs (supposés indépendants) d'une pièce de monnaie, pour laquelle la probabilité d'apparition de pile , noté P, est p et celle de face, noté F, est q , avec 0 < p < 1 et p + q = 1 , et on s'intéresse à l'apparition de deux piles consécutifs.
Par exemple, si l'on considère les seize premiers lancers suivants :

F P P F P P P F P F P P P P P F
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

deux piles consécutifs sont réalisés aux rangs 3, 6, 12 et 14, mais non aux rangs 7, 13 et 15 (car un pile ne peut pas participer à la réalisation de deux piles consécutifs plus d'une fois).
On notera, pour tout entier naturel n non nul :
A n l'événement : `` deux piles consécutifs sont réalisés au rang n ''.
B n l'événement: `` deux piles consécutifs sont pour la première fois réalisés au rang n ''.
Enfin on désigne par a n et b n les probabilités de ces événements A n et B n .

  1. Calcul des probabilités a n

    1. On a bien sûr a 1 = 0 . Calculer de plus a 2 , a 3 , a 4 .

    2. Démontrer, pour tout nombre entier naturel n non nul : a n + 2 = p 2 a n + q p 2 .

    3. On pose, pour tout entier naturel n non nul : u n = a n c c vérifie c = p 2 c + q p 2 .
      * Démontrer que ( u n ) est une suite récurrente linéaire d'ordre 2.
      * En déduire, pour tout nombre entier naturel n : a n = p 1 + p ( p + ( p ) n ) .

  2. Nombre moyen de réalisations de deux piles consécutifs en n lancers
    Pour tout entier naturel n non nul , on note X n la variable aléatoire prenant la valeur 1 lorsque l'événement A n est réalisé, et 0 sinon.

    1. Préciser la loi de X n et son espérance.

    2. Que peut-on dire de la variable aléatoire X n X n + l ?

    3. Déterminer la loi de la variable aléatoire X n X n + 2 .

    4. Déterminer pour tout nombre entier k 1 la loi de la variable aléatoire X n + k conditionnée par l'événement X n = 1 , c'est à dire les probabilités P ( X n + k = 0 / X n = 1 ) et P ( X n + k = 1 / X n = 1 ) .

    5. Interpréter la variable aléatoire X 1 + X 2 + + X n .
      Donner un équivalent du nombre moyen m n de réalisations de deux piles consécutifs parmi n lancers lorsque n tend vers + .

  3. Calcul récursif des probabilités b n

    1. Justifier l'égalité : P ( A n ) = k = 1 n P ( A n B k ) .

    2. Soit k un nombre entier tel que 1 k n . Que vaut P ( A n / B k ) ?

    3. En déduire la formule suivante pour tout nombre entier naturel non nul n : a n = b n + k = 1 n 1 b k a n k (et ce dernier ``sigma'' est supposé nul pour n = 1). Calculer ainsi b 2 , b 3 , b 4 , b 5 .

  4. Simulation informatique dans le cas particulier p = 2 / 3
    On peut alors établir à l'aide de la formule précédente (ce qu'on ne demande pas de faire) que n 1    b n = 4 9 [ ( 2 3 ) n 1 ( 1 3 ) n 1 ]

    1. Montrer que l'application T associant à toute suite de lancers successifs le numéro du jet où l'on obtient pour la première fois un double pile est une variable aléatoire.

    2. Déterminer l'espérance E ( T ) de cette variable aléatoire T .

    3. Le programme Pascal suivant dans lequel on code Pile par 1 et Face par 0 fournit (dans le cas p=2/3) une simulation de l'expérience aléatoire précédente.
      On signale de plus que :
      random(3) fournit un nombre entier aléatoire parmi 0, 1, 2.
      les lignes d'instruction notées ++++++ sont volontairement incomplètes.

      program ESSEC2002;

      var n,k : integer ; m:real;

      function lancer : integer;

      var z : integer;

      begin

      if random(3)=0 then z:=0

      else z:=1;

      lancer:=z;

      end;

      function attente:integer;

      var x,y,k:integer;

      begin

      x:=lancer; y:=lancer; k:=2;

      while x*y=0 do

      begin

      ++++++

      ++++++

      ++++++;

      end;

      attente: = k;

      end;

      begin

      randomize;

      write('Nombre de simulations ?');

      readln(n);

      m:=0;

      for k:=l to n do +++++++; m :=m/n;

      write('Moyenne : ' ,m:0:2);

      End.

      1. On considère l'instruction y:=lancer;
        Quelle est la probabilité que la variable y contienne 1 ?

      2. Compléter la boucle while de la fonction attente de façon que cette fonction retourne le rang d'apparition du premier double pile.

      3. Compléter la boucle for du programme principal de façon que le programme ESSEC2002 affiche la moyenne du rang d'apparition du premier double pile sur n expériences, le nombre entier naturel non nul n étant fourni par 1'utilisateur.
        Pour de grandes valeurs de n , autour de quelle valeur fluctue le contenu de la variable m ?

      4. Réécrire la fonction attente pour que le programme ESSEC2002 affiche la moyenne du rang d'apparition du premier triple pile.