Corrigé ESCP 1997 par Pierre Veuillez

On note l'ensemble des entiers naturels. Soit a et b deux réels tels que 0 < a < 1 et 0 < b < 1 .

On effectue une suite d'expériences aléatoires consistant à jeter simultanément deux pièces de monnaie notées A et B . On suppose que ces expériences sont indépendantes et qu'à chaque expérience les résultats des deux pièces sont indépendants. On suppose que, lors d'une expérience, la probabilité que la pièce A donne pile est a , et que la probabilité que la pièce B donne pile est b .

    1. Soit Z la variable aléatoire égale au rang du premier face pour la pièce A .

      les lancers étant indépendants, Z 𝒢 ( 1 a )

      Et comme l'événement

      ''la pièce A donne n fois pile et, à la ( n + 1 ) i e ` m e expérience, face pour la première fois'' est ( Z = n + 1 )

      alors μ n = a n ( 1 a ) et de même pour ν n = b n ( 1 b )

      Conclusion :

      μ n = a n ( 1 a ) et ν n = b n ( 1 b ) pour tout n
      .

    2. Les valeurs de μ n sont positives et n = 0 N μ n = n = 0 M a n ( 1 a ) ( 1 a ) 1 1 a = 1 car | a | < 1 donc n = 0 + μ n = 1 et de même pour ν .

      Conclusion :

      ( μ n ) n et ( ν n ) n définissent des lois de probabilité sur

  1. On considère deux variables aléatoires X et Y , définies sur un même espace probabilisé
    ( Ω , 𝒜 , P ) , à valeurs dans , indépendantes et dont les lois de probabilité sont respective-ment μ et ν . (La variable aléatoire X représente le nombre d'expériences qu'il faut réaliser avant que la pièce A donne face pour la première fois et la variable aléatoire Y représente le nombre d'expériences qu'il faut réaliser avant que la pièce B donne face pour la première fois).

    1. On a X = Z 1 donc X a une espérance et E ( X ) = E ( Z 1 ) = E ( Z ) 1 = 1 1 a 1 = a 1 a

      et V ( X ) = V ( Z ) = a ( 1 a ) 2

    2. ( X k ) est l'événement ''le premier face est après k " ou encore, ''iln'y a que des Piles jusqu'au k i e ` m e ''

      P ( X k ) = P ( i = 1 k P i ) = a k

      (en fait, dans cette interprètation, on inclus l'événement ''n'avoir que des piles'' pour lequel X n'est pas défini, mais qui est de proabbiltié nulle)

    3. On s'intéresse au nombre d'expériences qu'il faut réaliser avant que l'une au moins des pièces donne face pour la première fois. Pour cela on note M la variable aléatoire définie par M = min ( X , Y ) .

      On a ( M k ) = ''les deux sont supérieurs à k '' donc P ( M k ) = P ( X k y k ) = P ( X k ) P ( Y k ) = ( a b ) k

      Comme ( M k ) = ( M = k ) ( M > k ) alors P ( M = k ) = P ( M k ) P ( M > k ) = P ( M k ) P ( M k + 1 )  car  M  entier = ( a b ) k ( a b ) k + 1 = ( a b ) k ( 1 a b )

    4. On a ( Y X ) = k = 0 + ( X = k Y k ) donc (disjoints)

      P ( Y X ) = k = 0 + P ( X = k ) P ( Y k ) = k = 0 + a k ( 1 a ) b k = ( 1 a ) k = 0 + ( a b ) k = 1 a 1 a b

      Conclusion :

      P ( Y X ) = 1 a 1 a b

  2. On note U = X + Y .

    1. On a U ( Ω ) = et pour tout n : ( U = n ) = k = 0 n ( X = k Y = n k ) avec k et n k 0 donc P ( U = n ) = k = 0 n P ( X = k ) P ( Y = n k ) = k = 0 n a k ( 1 a ) b n k ( 1 b ) = ( 1 a ) b n ( 1 b ) k = 0 n ( a b ) k  et si  a b = ( 1 a ) b n ( 1 b ) 1 ( a b ) n + 1 1 a b = ( 1 a ) b n ( 1 b ) b b n + 1 b n + 1 a n + 1 b a

      Conclusion :

      P ( U = n ) = ( 1 a ) ( 1 b ) b n + 1 a n + 1 b a si a b

      Conclusion :

      P ( U = n ) = ( n + 1 ) a n ( 1 a ) 2 si  a = b

    2. Pour tout couple ( j , k ) d'entiers naturels,
      P U = j ( Y = k ) se calcule en se ramenant à ce que l'on connait : le couple ( X , Y )

      P U = j ( Y = k ) = P ( Y = k U = j ) P ( U = j ) = P ( Y = k X = j k ) P ( U = j ) = 0  si  j < k = b k ( 1 b ) a j k ( 1 a ) ( 1 a ) ( 1 b ) b j + 1 a j + 1 b a  si  a b = b k a j k ( b a ) b j + 1 a j + 1

      Conclusion :

      si a b : P U = j ( Y = k ) = b k a j k ( b a ) b j + 1 a j + 1 si j k et 0 sinon

      si a = b : P U = j ( Y = k ) = a k ( 1 a ) a j k ( 1 a ) a j ( 1 a ) 2 ( j + 1 )  si  a b = 1 j + 1

      Conclusion :

      si a = b : P U = j ( Y = k ) = 1 j + 1 si j k et 0 sinon

      donc Y suit une loi uniforme sur [ [ 0 , j ] ] quand X + Y = k étonnant, non ?

  3. On suppose désormais que a = b . On note V = Y X .

    1. On exprime ( M = k  et  V = r ) en fonction de X et de Y :

      • si r 0 alors quand ( Y X = r ) on a Y X donc min ( Y , X ) = X

        donc ( M = k  et  V = r ) = ( X = k Y X = r ) = ( X = k Y = r + k )

        et P ( M = k  et  V = r ) = a k ( 1 a ) a r + k ( 1 a )

        Conclusion :

        P ( M = k V = r ) = a 2 k + r ( 1 a ) 2

      • si r < 0 alors quand ( Y X = r ) on a Y < X donc min ( Y , X ) = Y

        donc ( M = k  et  V = r ) = ( Y = k Y X = r ) = ( Y = k X = k r )

        et P ( M = k  et  V = r ) = a k ( 1 a ) a k r ( 1 a ) (on a k r 0 )

        Conclusion :

        P ( M = k V = r ) = a 2 k r ( 1 a ) 2

    2. La loi de V est donc loi marginale.

      • si r < 0 P ( V = r ) = k = 0 + P ( M = k V = r ) = k = 0 + a 2 k r ( 1 a ) 2 = ( 1 a ) 2 a r k = 0 + ( a 2 ) k = ( 1 a ) 2 a r 1 1 a 2 = 1 a a r ( 1 + a )

      • et si r 0 P ( V = r ) = k = 0 + P ( M = k V = r ) = k = 0 + a 2 k + r ( 1 a ) 2 = a r 1 a 1 + a

      On teste pour r 0 : P ( V = r ) P ( M = k ) = a r 1 a 1 + a a 2 k ( 1 a 2 ) = a 2 k + r ( 1 a ) 2 = P ( M = k V = r )

      et pour r < 0 : P ( V = r ) P ( M = k ) = a r 1 a 1 + a a 2 k ( 1 a 2 ) = a 2 k r ( 1 a ) 2 = P ( M = k V = r )

      Conclusion :

      si a = b , les variables M = min ( X , Y ) et V = X Y sont indépendantes

      l'écart entre les deux est indépendant de la valeur du plus petit des deux !