ESCP 1997
On note
ℕ
l'ensemble des entiers naturels. Soit
a
et
b
deux réels tels que
0
<
a
<
1
et
0
<
b
<
1
.
On effectue une suite d'expériences aléatoires consistant à
jeter simultanément deux pièces de monnaie notées
A
et
B
.
On suppose que ces expériences sont indépendantes et qu'à
chaque expérience les résultats des deux pièces sont
indépendants. On suppose que, lors d'une expérience, la
probabilité que la pièce
A
donne pile est
a
,
et que la probabilité que la pièce
B
donne pile est
b
.
-
-
Pour tout entier naturel
n
,
calculer la probabilité
μ
n
,
que la pièce
A
donne
n
fois pile et, à la
(
n
+
1
)
i
⁢
e
`
⁢
m
⁢
e
expérience, face pour la première fois. Calculer de même la
probabilité
ν
n
que la pièce
B
donne
n
piles et, à la
(
n
+
i
)
i
⁢
e
`
⁢
m
⁢
e
expérience, face pour la première fois.
-
Montrer que les suites
(
μ
n
)
n
∈
ℕ
et
(
ν
n
)
n
∈
ℕ
définissent des lois de probabilité sur
ℕ
.
Ces lois seront notées dorénavant respectivement
μ
et
ν
.
-
On considère deux variables aléatoires
X
et
Y
,
définies sur un même espace probabilisé
(
Ω
,
𝒜
,
P
)
,
à valeurs dans
ℕ
,
indépendantes et dont les lois de probabilité sont respective-ment
μ
et
ν
.
(La variable aléatoire
X
représente le nombre d'expériences qu'il faut réaliser avant
que la pièce
A
donne face pour la première fois et la variable aléatoire
Y
représente le nombre d'expériences qu'il faut réaliser avant
que la pièce
B
donne face pour la première fois).
-
Calculer l'espérance
E
⁡
(
X
)
et la variance
V
⁡
(
X
)
.
-
Trouver, pour tout entier naturel
k
,
la valeur de
P
⁣
(
X
≥
k
)
.
-
On s'intéresse au nombre d'expériences qu'il faut réaliser
avant que l'une au moins des pièces donne face pour la première
fois. Pour cela on note
M
la variable aléatoire définie par
M
=
min
(
X
,
Y
)
.
Calculer, pour tout entier naturel
k
,
la probabilité
P
⁣
(
M
≥
k
)
.
En déduire la loi de probabilité de
M
.
-
Déterminer la probabilité que la pièce
B
ne donne pas face avant la pièce
A
,
c'est-à-dire
P
⁣
(
Y
≥
X
)
.
-
On note
U
=
X
+
Y
.
-
Déterminer la loi de probabilité de
U
.
(On distinguera les cas
a
=
b
et
a
≠
b
).
-
Calculer, pour tout couple
(
j
,
k
)
d'entiers naturels,
les probabilités conditionnelles
P
⁣
(
Y
=
k
/
U
=
j
)
-
On suppose désormais que
a
=
b
.
On note
V
=
Y
−
X
.
-
Calculer, pour tout entier naturel
k
et tout entier relatif
r
,
la probabilité de l'événement
(
M
=
k
et
V
=
r
)
.
(On distinguera le cas
r
≥
0
et le cas
r
<
0
).
-
Trouver la loi de probabilité de
V
.
Les variables aléatoires
M
et
V
sont-elles indé-pendantes?