ESCP 1997

On note l'ensemble des entiers naturels. Soit a et b deux réels tels que 0 < a < 1 et 0 < b < 1 .

On effectue une suite d'expériences aléatoires consistant à jeter simultanément deux pièces de monnaie notées A et B . On suppose que ces expériences sont indépendantes et qu'à chaque expérience les résultats des deux pièces sont indépendants. On suppose que, lors d'une expérience, la probabilité que la pièce A donne pile est a , et que la probabilité que la pièce B donne pile est b .

    1. Pour tout entier naturel n , calculer la probabilité μ n , que la pièce A donne n fois pile et, à la ( n + 1 ) i e ` m e expérience, face pour la première fois. Calculer de même la probabilité ν n que la pièce B donne n piles et, à la ( n + i ) i e ` m e expérience, face pour la première fois.

    2. Montrer que les suites ( μ n ) n et ( ν n ) n définissent des lois de probabilité sur . Ces lois seront notées dorénavant respectivement μ et ν .

  1. On considère deux variables aléatoires X et Y , définies sur un même espace probabilisé
    ( Ω , 𝒜 , P ) , à valeurs dans , indépendantes et dont les lois de probabilité sont respective-ment μ et ν . (La variable aléatoire X représente le nombre d'expériences qu'il faut réaliser avant que la pièce A donne face pour la première fois et la variable aléatoire Y représente le nombre d'expériences qu'il faut réaliser avant que la pièce B donne face pour la première fois).

    1. Calculer l'espérance E ( X ) et la variance V ( X ) .

    2. Trouver, pour tout entier naturel k , la valeur de P ( X k ) .

    3. On s'intéresse au nombre d'expériences qu'il faut réaliser avant que l'une au moins des pièces donne face pour la première fois. Pour cela on note M la variable aléatoire définie par M = min ( X , Y ) .

      Calculer, pour tout entier naturel k , la probabilité P ( M k ) . En déduire la loi de probabilité de M .

    4. Déterminer la probabilité que la pièce B ne donne pas face avant la pièce A , c'est-à-dire P ( Y X ) .

  2. On note U = X + Y .

    1. Déterminer la loi de probabilité de U . (On distinguera les cas a = b et a b ).

    2. Calculer, pour tout couple ( j , k ) d'entiers naturels,
      les probabilités conditionnelles P ( Y = k / U = j )

  3. On suppose désormais que a = b . On note V = Y X .

    1. Calculer, pour tout entier naturel k et tout entier relatif r , la probabilité de l'événement ( M = k  et  V = r ) . (On distinguera le cas r 0 et le cas r < 0 ).

    2. Trouver la loi de probabilité de V . Les variables aléatoires M et V sont-elles indé-pendantes?