Corrigé EML 1997 par Pierre Veuillez

On note q = 1 p (probabilité de f a c e )

  1. Z est le nombre de 6 obtenus en N lancers indépendants avece pour chaque lancer la même probabilité 1 / 6 d'obtenir 6 (car les faces du dé sont équiprobables).

    Donc Z ( N , 1 / 6 ) et on a alors E ( Z ) = N / 6 et V ( Z ) = 5 N / 36

  2. Quand Z = n , (conditionnement) on effectue n lancers indépendants de la pièce avec une probabilité de pile de p . Donc le nombre X de piles obtenus suit une loi X ( n , p ) . i.e. si k [ [ 0 , n ] ] , p ( X = k / Z = n ) = C n k p k q n k et p ( X = k / Z = n ) = 0 sinon.

  3. Montrer que pour tout couple d'entier naturels ( k , n ) :

    On a p ( X = k et Z = n ) = p ( X = k Z = n ) = p ( Z = n ) p ( X = k / Z = n ) donc

  4. Calculer la probabilité p ( X = 0 ) idée elle dépend de la valeur de Z d'où probab totales avec comme système complet d'évènements les valeurs possibles de Z .

    ( Z = n ) n [ [ 0 , N ] ] est un système complet d'évènements donc

    p ( X = 0 ) = n = 0 N p ( Z = n ) p ( X = 0 / Z = n ) = n = 0 N C N n ( 5 6 ) N n ( 1 6 ) n C n 0 p 0 q n = n = 0 N C N n ( 5 6 ) N n ( q 6 ) n = ( 5 + q 6 ) n

  5. On calcule de part et d'autre : comme 0 k n N , les coefficients peuvent s'écrire en factorielles. C n k C N n = n ! k ! ( n k ) ! N ! n ! ( N n ) ! = N ! k ! ( n k ) ! ( N n ) ! C N k . C N k n k = N ! k ! ( N k ) ! ( N k ) ! ( n k ) ! ( N k ( n k ) ) ! = N ! k ! ( n k ) ! ( N n ) !

    donc C n k C N n = C N k . C N k n k

    ( Z = n ) n [ [ 0 , N ] ] est un système complet d'évènements donc p ( X = k ) = n = 0 N p ( Z = n ) p ( X = k / Z = n ) et comme la probabilité conditionnelle dépend de n k ou n < k (il faut regarder par rapport aux valeursde n qui est l'indice de sommation) p ( X = k ) = n = 0 k 1 p ( Z = n ) p ( X = k / Z = n ) + n = k N p ( Z = n ) p ( X = k / Z = n ) = n = 0 k 1 n < k 0 + n = k N n k C N n ( 5 6 ) N n ( 1 6 ) n C n k . p k ( 1 p ) n k = n = k N C N n C n k ( 5 6 ) N n ( 1 6 ) n . p k ( 1 p ) n k = n = k N C N k C N k n k ( 5 6 ) N n ( 1 6 ) n . p k ( 1 p ) n k  réindexé  i = n k = p k C N k i = 0 N k C N k i ( 5 6 ) N i k ( 1 6 ) i + k ( 1 p ) i on regroupe les puissances en faisant apparaître  N k i  et  i = p k ( 1 6 ) k C N k i = 0 N k C N k i ( 5 6 ) N k i ( 1 p 6 ) i = C N k ( p 6 ) k ( 5 + 1 p 6 ) N k = C N k ( p 6 ) k ( 1 p 6 ) N k

  6. On reconnait bien ici une loi binômiale de paramètres ( N , p / 6 )

    En inversant les rôles de p i l e et de f a c e on obtient de même que Y suit une loi binômiale de paramêtres ( N , q / 6 )

  7. p ( X = N  et  Y = N ) = 0 car ( X = N Y = N ) est impossible (on aurait 2 N lancers)

    Or ni p ( X = N ) ni p ( Y = N ) ne le sont donc p ( X = N ) p ( Y = N ) n'est pas nul.

    Donc p ( X = N Y = N ) p ( X = N ) p ( Y = N ) et X et Y ne sont pas indépendantes.

    Pour calculer p ( X = x Y = y ) il faut connaitre la valeur de Z \dots or Z = X + Y donc ( X = x Y = y ) = ( X = x Z = x + y )

    et p ( X = x Y = y ) = p ( X = x Z = x + y ) = p ( X = x / Z = x + y ) p ( Z = x + y )

    Cette quantité est donc nulle si x + y > N et sinon, elle vaut : p ( X = x Y = y ) = C x + y x p x q y C N x + y ( 1 6 ) x + y ( 5 6 ) N x y

(ESCL 97)