EML 1997




On dispose d'un dé équilibré à 6 faces et d'une pièce truquée telle que la probabilité d'apparition de pile soit égale à p , p ] 0 , 1 [ .

Soit N un entier naturel non nul fix\e.

On effectue N lances du dé. Si n est le nombre de 6 obtenus, on lance alors n fois la pièce.

On d\efini les trois variables X , Y et Z de la mani\ere suivante:

Ainsi X + Y = Z et, si Z prend la valeur 0 alors X et Y valent 0.

  1. Préciser la loi de Z , son espérance et sa variance.

  2. Pour k et n , déterminer la probabilité conditionnelle p ( X = k / Z = n ) .

    (On distinguera les cas k n et k > n .)

  3. Montrer que pour tout couple d'entier naturels ( k , n ) :

  4. Calculer la probabilité p ( X = 0 ) .

  5. Montrer que pour tout les entiers naturels k et n tels que 0 k n N : C n k . C N n = C N k . C N k n k En déduire la probabilité p ( X = k )

  6. Montrer que la variable aléatoire X suit une loi binômiale de paramètres ( N , p / 6 )

    Quelle est la loi de la variable aléatoire Y ?

  7. Calculer p ( X = N  et  Y = N ) . X et Y sont-elles indépendantes?

    Déterminer pour tout x X ( Ω ) et y Y ( Ω ) , p ( X = x et Y = y ) . ( loi du couple)

(ESCL 97)