On dispose de deux urnes U 1 et U 2 , de six boules numérotées de 1 à 6 ainsi que d'un dé équilibré.

Initialement l'urne U 1 contient les boules 1 et 2, l'urne U 2 contient les boules 3 , 4 , 5 et 6.

On appelle échange l'expérience consistant à lancer une fois le dé et à changer d'urne la boule portant le numéro obtenu avec le dé.

Pour n * , on note X n la variable aléatoire égale au nombre de boules contenues dans U 1 après n échanges successifs.

  1. Les cinq premiers lancers du dé donnent: 1 , 3 , 2 , 3 , 5 . Quel est le contenu de l'urne U 1 à l'issue du cinquième échange?

  2. Quelle est la loi de X 1 ? Calculer son espérance E ( X 1 ) .

    1. Déterminer la loi du couple ( X 1 , X 2 ) . En déduire la loi de X 2 .

    2. Calculer la covariance du couple ( X 1 , X 2 ) .

    1. Montrer que pour tout entier n de * on a : p ( X n + 1 = 0 ) = 1 6 . p ( X n = 1 ) et pour tout entier k , 1 k 5 , p ( X n + 1 = k ) = 7 k 6 . p ( X n = k 1 ) + k + 1 6 . p ( X n = k + 1 ) et enfin p ( X n + 1 = 6 ) = 1 6 . p ( X n = 5 )

    2. En déduire - en écrivant tous les termes - que pour tout entier n non nul: E ( X n + 1 ) = 2 3 . E ( X n ) + 1

    3. Calculer alors E ( X n ) en fonction de n puis lim n + E ( X n )

(ESC 97)