Corrigé par Pierre Veuillez

  1. Quand N = n , X est alors le nombre de colis qui arrivent déteriorés parmi n colis envoyés indéopendemment les uns des autres et avec la même probabiltié 0 , 1. Donc la loi de x quand N = n estune loi binômiale de paramêtres n et 0 , 1.

    Donc p ( X = k / N = n ) = C n k 0 , 1 k 0 , 9 n k s i 0 k n et 0 sinon.

  2. Comme ( N = n ) n forme un système complet d'événements, alors la série n 0 p ( X = k / N = n ) p ( N = n ) est convergente et sa somme est p ( X = k ) . On en calcule la somme partielle en tenant compte des deux formules possibles pour la probabilité :.

    n = 0 M p ( X = k / N = n ) p ( N = n ) = n = 0 k 1 n < k p ( X = k / N = n ) p ( N = n ) + n = k M n k p ( X = k / N = n ) p ( N = n ) = 0 + n = k M C n k 0 , 1 k 0 , 9 n k e 5 5 n n !  avec  n k : C n k = n ! k ! ( n k ) ! = 0 , 1 k e 5 n = k M n ! k ! ( n k ) ! 0 , 9 n k 5 n n ! = 0 , 1 k e 5 0 , 9 k k ! n = k M 0 , 9 n 5 n ( n k ) ! = ( 1 9 ) k e 5 k ! i = 0 M k 4 , 5 i + k i ! = ( 1 9 ) k e 5 4 , 5 k k ! i = 0 M k 4 , 5 i i ! M + ( 4 , 5 9 ) k e 5 e 4 , 5 k ! = 0 , 5 k e 0 , 5 k ! Donc X suit une moi de Poisson de paramètre 0,5

  3. On admet que la loi de Y est une loi de Poisson de Paramètre 4,5.

    Soient i et j .

    1. Comme on ne pense pas que X et Y sont indépendants, il faudra conditionner. Mais on ne connait la probabilité qu'en conditonnant par la valeur de N . On réécrit donc ( X = i Y = j ) = ( X = i N = j + i ) . D'où p ( X = i Y = j ) = p ( X = i N = i + j ) = p ( X = i / N = i + j ) p ( N = i + j ) = C i + j i 0 , 1 i 0 , 9 i + j i e 5 5 i + j ( i + j ) ! = ( i + j ) ! i ! j ! 0 , 1 i 5 i 0 , 9 j 5 j e 5 1 ( i + j ) ! = 0 , 5 i 0 , 45 j i ! j ! j e 5

    2. Or p ( X = i ) ( Y = j ) = 0 , 5 i i ! e 0 , 5 0 , 45 j j ! e 0 , 45 = p ( X = i Y = j ) Donc, contre toute attente (puisque les colis intacts ne sont pas endommagés...) X et Y sont indépendantes. Ceci s'explique par le fait que le nombre total de colis n'est pas connu. Donc le fait de connaitre le nombre de ceux endommagés ne permet pas de déduire le nombre de ceux intacts.

(ESCL 94)