Comme
(
N
=
n
)
n
∈
ℕ
forme un système complet d'événements, alors la série
∑
n
≥
0
p
⁣
(
X
=
k
/
N
=
n
)
p
⁣
(
N
=
n
)
est convergente et sa somme est
p
⁣
(
X
=
k
)
.
On en calcule la somme partielle en tenant compte des deux formules possibles
pour la probabilité :.
∑
n
=
0
M
p
⁣
(
X
=
k
/
N
=
n
)
p
⁣
(
N
=
n
)
=
∑
n
=
0
k
−
1
⏟
n
<
k
⁢
p
⁣
(
X
=
k
/
N
=
n
)
p
⁣
(
N
=
n
)
+
∑
n
=
k
M
⏟
n
≥
k
⁢
p
⁣
(
X
=
k
/
N
=
n
)
p
⁣
(
N
=
n
)
=
0
+
∑
n
=
k
M
C
n
k
⁢
0
,
1
k
⁢
0
,
9
n
−
k
⁢
e
−
5
⁢
5
n
n
!
avec
n
≥
k
:
C
n
k
=
n
!
k
!
⁢
(
n
−
k
)
!
=
0
,
1
k
⁢
e
−
5
⁢
∑
n
=
k
M
n
!
k
!
⁢
(
n
−
k
)
!
⁢
0
,
9
n
−
k
⁢
5
n
n
!
=
0
,
1
k
⁢
e
−
5
⁢
0
,
9
−
k
k
!
⁢
∑
n
=
k
M
0
,
9
n
⁢
5
n
(
n
−
k
)
!
=
(
1
9
)
k
⁢
e
−
5
k
!
⁢
∑
i
=
0
M
−
k
4
,
5
i
+
k
i
!
=
(
1
9
)
k
⁢
e
−
5
⁢
4
,
5
k
k
!
⁢
∑
i
=
0
M
−
k
4
,
5
i
i
!
→
M
→
+
∞
(
4
,
5
9
)
k
⁢
e
−
5
⁢
e
4
,
5
k
!
=
0
,
5
k
⁢
e
−
0
,
5
k
!
Donc
X
suit une moi de Poisson de paramètre 0,5