Corrigé du DM n ° 7

par Pierre Veuillez

    1. pour q 0 à cause du q k 1 pour k = 0 : ( 1 q ) k = 1 n k q k 1 = k = 1 n k q k 1 k = 1 n k q k = h = 0 n 1 ( h + 1 ) q h k = 1 n k q k = = h = 0 n 1 q h + h = 0 n 1 h q h k = 0 n k q k + 0 = h = 0 n 1 q h + h = 0 n 1 h q h k = 0 n 1 k q k n q n = h = 0 n 1 q h n q n = q n 1 q 1 n q n = ( n + 1 ) q n n q n + 1 1 q 1  pour  q 1

      Donc k = 1 n k q k = q ( n + 1 ) q n n q n + 1 1 ( q 1 ) 2 et k = 1 n k 2 k = ( 1 2 ) k = 1 n k 2 k 1 2 = 2 ( n + 1 ) 2 n n 2 n + 1 1 ( 2 1 ) 2 = 2 n + 1 ( n 1 ) + 2

    2. Par récurrence:

      Pour n = 1 , est-ce que k = 1 1 k 2 2 k = 2. ( 1 2 2.1 + 3 ) 2 1 + 1 6 ? k = 1 1 k 2 2 k = 2  et  2. ( 1 2 2.1 + 3 ) 2 1 + 1 6 = 2.4 6 = 2. Soit n 1 tel que k = 1 n k 2 2 k = ( n 2 2 n + 3 ) 2 n + 1 6 est-ce qu'alors k = 1 n + 1 k 2 2 k = ( ( n + 1 ) 2 2 ( n + 1 ) + 3 ) 2 n + 2 6 ?

      Or k = 1 n + 1 k 2 2 k = ( n + 1 ) 2 n + 1 + k = 1 n k 2 2 k = ( n + 1 ) 2 2 n + 1 + ( n 2 2 n + 3 ) 2 n + 1 6 = ( 2 n 2 + 4 ) 2 n + 1 6 = ( n 2 + 2 ) 2 n + 2 6 et ( ( n + 1 ) 2 2 ( n + 1 ) + 3 ) 2 n + 2 6 = ( n 2 + 2 ) 2 n + 2 6 = k = 1 n + 1 k 2 2 k donc pour tout entier n , k = 1 n k 2 2 k = ( n 2 2 n + 3 ) 2 n + 1 6

    1. Le nombre de boules dans l'urne est:

      2 boules 0 et 2 k boules k pour tout k de 1 à n donc au total: 2 + k = 1 n 2 k = 2 + k = 0 n 2 k 1 = 2 n + 1 1 2 1 + 1 = 2 n + 1 Elles sont équiprobables.

      Donc la loi de X est donnée par: X ( Ω ) = [ [ 0 , n ] ] , et p ( X = 0 ) = 2 / 2 n + 1 = 2 n  et pour tout  i 1 ,  p ( X = i ) = 2 i / 2 n + 1 = 2 i n 1 .

      La valeur 0 est donc à traiter à part.

    2. E ( X ) = k = 0 n k p ( X = k ) = 0. p ( X = 0 ) + k = 1 n k 2 k n 1 = 2 n 1 k = 1 n k 2 k = 2 n 1 . ( 2 n + 1 ( n 1 ) + 2 ) = n 1 + 2 n

    3. E ( X 2 ) = k = 0 n k 2 p ( X = k ) = 0 2 . p ( X = 0 ) + k = 1 n k 2 2 k n 1 = 2 n 1 k = 1 n k 2 2 k = 2 n 1 ( ( n 2 2 n + 3 ) 2 n + 1 6 ) = n 2 2 n + 3 3 / 2 n

    4. D'où V ( X ) = E ( X 2 ) E ( X ) 2 = n 2 2 n + 3 3 / 2 n ( ( n 1 ) + 2 n ) 2 = n 2 2 n + 3 3 / 2 n ( n 2 2 n + 1 + 2 2 n ( n 1 ) + 2 2 n ) = 2 ( 2 n + 1 ) 2 n 2 2 n

    1. p ( Y = i / X = k ) = ? .

      Pour k 1 , sachant X = k , il reste dans l'urne les boules de numéro compris entre 0 et k 1.

      Il y en a 2 k . Elles sont équiprobables. Les boules 0 ne suivant pas la règle générale et il n'y a pas de numéro supérieur à k :

      p ( Y = i / X = k ) = { 2 / 2 k  si  i = 0 2 i / 2 k  si  1 i < k 0  si  i k

      pour k = 0 , il n'y a que 2 boules 0 dans l'urne et p ( Y = i / X = 0 ) = { 1  si  i = 0 0  si  i > 0

    2. Donc Y ( Ω ) = [ [ 0 , n 1 ] ] .

      Et d'après la formue des probabilités totales, avec pour système complet d'évènements

      ( ( X = 0 ) , ( X = 1 ) , , ( X = n ) ) , on a: p ( Y = i ) = k = 0 n p ( Y = i / X = k ) . p ( X = k ) La valeur de p ( Y = i / X = k ) a été donnée en fonction de i . La somme est indexée par k , il faut donc distinguer suivant la valeur de k :

      La valeur i = 0 joue elle même un rôle particulier et doit être traîtée à part.

      Si i = 0 , p ( Y = 0 / X = k ) = 1 si k = 0 et p ( Y = 0 / X = k ) = 2 / 2 k si k 1.

      Si i 1 , p ( Y = i / X = k ) = 2 i / 2 k si k > i et p ( Y = i / X = k ) = 0 si k i .

      On a donc p ( Y = 0 ) = p ( Y = 0 / X = 0 ) . p ( X = 0 ) + k = 1 n p ( Y = 0 / X = k ) . p ( X = k ) = 1 p ( X = 0 ) + k = 1 n 2 2 k p ( X = k ) = 1 2 n + k = 1 n 2 2 k 2 k 2 n + 1 = 1 2 n + n 2 n = n + 1 2 n et pour tout 1 i n 1 : p ( Y = i ) = k = 0 n p ( Y = i / X = k ) . p ( X = k ) = k = 0 i 0 + k = i + 1 n 2 i 2 k 2 k 2 n + 1 = n i 2 n + 1 2 i

    3. i = 0 n 1 p ( Y = i ) = n + 1 2 n + i = 1 n 1 n i 2 n + 1 2 i = n + 1 2 n + n 2 n + 1 i = 1 n 1 2 i 1 2 n + 1 i = 1 n 1 i .2 i = n + 1 2 n + n 2 n + 1 ( 2 n 1 2 1 1 ) 1 2 n + 1 ( 2 n ( n 2 ) + 2 ) = n + 1 2 n + n 2 n + 1 ( 2 n 2 ) 1 2 n + 1 ( n 2 n 2 2 n + 2 ) = 2 n + 2 + n 2 n 2 n n 2 n + 2 2 n 2 2 n + 1 = 2 2 n 2 n + 1 = 1

    4. E ( Y ) = i = 0 n 1 i p ( Y = i ) = 0 + i = 1 n 1 i n i 2 n + 1 2 i = n 2 n + 1 i = 1 n 1 i 2 i 1 2 n + 1 i = 1 n 1 i 2 2 i = n 2 n + 1 ( 2 n ( n 2 ) + 2 ) 1 2 n + 1 ( ( ( n 1 ) 2 2 ( n 1 ) + 3 ) 2 n 6 ) = 2 n ( n 2 2 n ) + 2 n ( n 2 2 n + 1 2 n + 2 + 3 ) 2 n + 6 2 n + 1 = ( 2 n 6 ) 2 n + 2 n + 6 2 n + 1