1. Calculer ( 1 q ) k = 1 n k q k 1

      en déduire que pour tout entier n 1 , k = 1 n k 2 k = 2 n + 1 ( n 1 ) + 2

    2. Montrer que pour n 1 , k = 1 n k 2 2 k = ( n 2 2 n + 3 ) 2 n + 1 6

    Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On place dans une urne U :

  1. On extrait une boule de l'urne, toutes les boules ayant la même probabilité d'être tirées, et l'on note X la variable aléatoire égale au numéro de la boule tirée .

    1. Déterminer la loi de probabilité de X . (distinguer X = 0 et les autres valeurs)

    2. Calculer l'espérance mathématique de X .

    3. Quelle est l'espérance mathématique de X 2 ?

    4. En déduire la variance de X .

  2. On définit la variable aléatoire Y de la façon suivante:

    1. Déterminer pour k et i entiers entre 0 et n la probabilité conditionnelle, p ( Y = i / X = k ) .

      (on distinguera suivant que i = 0 , i > 0 , i k ou i < k et k = 0 )

    2. En déduire la loi de probabilité de Y .

    3. Vérifier que i = 0 n 1 p ( Y = i ) = 1.

    4. Calculer l'espérance de Y .