(ESCL 88) Corrig\e par Pierre Veuillez

  1. X est le nombre de clients obtenus en n appels indépendants, la probabilité pour chaque appel d'aboutir étant p . Donc X suit une loi binômiale de paramètres n et p . E ( X ) = n p et V ( X ) = n p q

  2. On remarque que le nombre de clients rappelés la deuxième fois d e ´ p e n d du nombre de client X contactés.

    1. On a contacté au minimum 0 clients et au maximum tous les clients ( n ). Donc Z ( Ω ) = [ [ 0 , n ] ] .

    2. On a ( Z = 0 ) = ( X = 0 ) ( Y = 0 ) car il ne faut contacter de lient ni la première ni la seconde fois.Donc p ( Z = 0 ) = p ( X = 0 ) p ( Y = 0 / X = 0 )

      Or, quand aucun client n'a été contacté, il faut en rappelé n . Et le nombre de clients contactés lors de la seconde phase suit alors une loi binômiale de paramètres n et p . Donc p ( Z = 0 ) = C n 0 p 0 q n C n 0 p 0 q n = q 2 n

      ( Z = 1 ) : On doit contacter un seul client. Celà peut se faire au premier ou au secnd appel. Donc ( Z = 1 ) = ( ( X = 1 ) ( Y = 0 ) ) ( ( X = 0 ) ( Y = 1 ) ) réunion d'incompatibles donc p ( Z = 1 ) = p ( ( X = 1 ) ( Y = 0 ) ) + p ( ( X = 0 ) ( Y = 1 ) ) = p ( X = 1 ) p ( Y = 0 / X = 1 ) + p ( X = 0 ) p ( Y = 1 / X = 0 ) = C n 1 p q n 1 C n 1 0 p 0 q n 1 + C n 0 p 0 q n C n 1 p 1 q n 1 = n p q 2 n 2 + n p q 2 n 1 = n p q 2 n 2 ( 1 + q ) car quand ( X = 1 ) il reste n 1 clients à rappeller donc la loi de Y sachant X = 1 suit une loi binômiale de paramètes n 1 et p .

    3. Quand ( X = k ) il y a n k clients à rappeler indépendements les uns des autes donc la loi de Y sachant ( X = k ) est une loi binômiale de paramêtres n k et p . Donc pour k [ [ 0 , n ] ] et h [ [ 0 , n k ] ] p ( Y = h / X = k ) = C n k h p h q n k h

    4. Pour tout s [ [ 0 , n ] ] on a ( Z = s ) si X prend une valeur ( k ) et ssi Y la complète: ( Z = s ) = k = 0 s ( X = k Y = s k ) les bornes étant imposées par le fait que Y et X doivent être positif. Les événements ( X = k ) k [ [ 0 , s ] ] étant incompatibles p ( Z = s ) = k = 0 s p ( X = k Y = s k ) .

    5. On a alors p ( Z = s ) = k = 0 s p ( X = k ) p ( Y = s k / X = k ) = k = 0 s C n k p k q n k C n k s k p s k q n k ( s k )  car  0 s k n k = k = 0 s C n k C n k s k p s q 2 n k s  somme par rapport à  k .

      Montrons que: C n k C n k s k = n ! k ! ( n k ) ! ( n k ) ! ( s k ) ! ( n k s + k ) ! = n ! k ! ( s k ) ! ( n s ) ! C n s C s k = n ! s ! ( n s ) ! s ! k ! ( s k ) ! = n ! ( n s ) ! k ! ( s k ) ! = C n k C n k s k et p ( Z = s ) = k = 0 s C n s C s k p s q 2 n k s  on factorise les constantes pour  k = q 2 n s p s C n s k = 0 s C s k q k  que l'on forme en binôme = q 2 n s p s C n s k = 0 s C s k ( q 1 ) k 1 s k = q 2 n s p s C n s ( 1 q + 1 ) s = q 2 n s p s C n s ( 1 + q ) s q s = C n s ( q 2 ) n s ( p ( 1 + q ) ) s et comme 1 q 2 = ( 1 q ) ( 1 + q ) = p ( 1 + q ) on reconnait une loi binômiale de paramètres n et p ( 1 + q )

      (ESCL 88)