(ESCL 88)

  1. Une secrétaire effectue n appels vers n correspondants disctinsts. ( n entier n 2 ) On admet que ces n appels constituent n expériences indépendantes et que pour chaque appel la probabilité d'obtenir le correspondant est p et que la probnabilité de ne pas l'obtenir est q = 1 p . On note X le nombre de clients obtenus.

    Quelle est la loi de X ? Donner l'espérance et la variance de X .

  2. Après ces n recherches, la secrétaire demande une deuxième fois, et dans les mêmes conditions, chacuns des n X correspondants qu'elle n'a pas obtenus la première fois. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de correspondants obtenus lors de la deuxième série d'appels et soit Z = X + Y le nombre total de correspondants obtenus.

    1. Quelles sont les valeurs prises par Z ?

    2. Calculer les probabilités p 0 = p ( Z = 0 ) et p 1 = p ( Z = 1 ) . Montrer que p 1 = n p q 2 n 2 ( 1 + q )

    3. Calculer la probabilité conditionnelle p ( Y = h / X = k ) pour k [ [ 0 , n ] ] et h [ [ 0 , n k ] ]

    4. Démontrer que pour tout s [ [ 0 , n ] ] p ( Z = s ) = k = 0 s p ( X = k Y = s k ) .

    5. Calculer p ( Z = s ) pour s [ [ 0 , n ] ] , et montrer que Z suit une loi binômiale de paramètres n et p ( 1 + q )

      On pourra montrer que: C n k C n k s k = C n s C s k (ESCL 88)