Corrigé ESCP 1994 par Pierre Veuillez

I

  1. On suppose dans cette question que m = 6 . (modélise un lancer de dé)

    1. La double entrée correspond aux valeurs de α et β et on place aux cases les valeurs du gain de 𝔅 .

      α \ β 1 2 3 4 5 6 1 -1 0 1 2 3 4 2 -2 -1 0 1 2 3 3 -2 -2 -1 0 1 2 4 -2 -2 -2 -1 0 1 5 -2 -2 -2 -2 -1 0 6 -2 -2 -2 -2 -2 -1

    2. Pour donner la loi de X , il faut donner ses valeurs et la probabilité de chacune de ces valeurs. Tous les couples de valeurs de ( α , β ) sont équiprobables. Il y en a 36. La probabilité de chacun de ces couples de valeur est donc 1/36. Il suffit de compter le nombre de couples donnant une valeur de X pour avoir la probabilité de cette valeur :

      X ( Ω ) = { 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }

      k 2 1 0 1 2 3 4 total p ( X = k ) 15 / 36 6 / 36 5 / 36 4 / 36 3 / 36 2 / 36 1 / 36 36/36=1 k p ( X = k ) 30 / 36 6 / 36 0 4 / 36 6 / 36 6 / 36 4 / 36 16 / 36 = 4 / 9 = E ( X ) k 2 p ( X = k ) 60/36 6/36 0 4/36 12/36 18/39 16/36 116/36=29/9= E ( X 2 )

    3. L'étude de ce cas particulier permet de visualiser ce qui se passe dans le cas général.

    4. On trouve E ( X ) = 4 / 9. Le jeu avantage donc 𝔄 puisqu'en moyenne, 𝔅 y perd 4/9 d'euros

    5. V ( X ) = E ( X 2 ) E ( X ) 2 = 29 / 9 16 / 81 = 245 / 81

  2. On revient au cas général: m 2 . On note A le résultat de 𝔄 et B celui de 𝔅 : ce sont des variables aléatoires.

    1. X peut prendre les valeurs 2 ainsi que toutes les valeurs de -1 (si B = A ) à m 1 1 = m 2 si A = 1 et B = m .

      Finalement, X ( Ω ) = [ [ 2 , m 2 ] ]

      Pour k = 2 on a ( X = 2 ) = ( A > B ) on traduit cet événement en fonction des résultats A et B :

      ( A > B ) = i = 1 m ( ( A = i ) ( B < i ) ) = i = 2 m ( ( A = i ) ( B < i ) )

      car pour que ( B < i ) = ( B i 1 ) soit possible, il faut 1 i 1 m donc que 2 i m + 1

      Comme la réunion est disjointe, p ( A > B ) = i = 2 m p ( ( A = i ) ( B i 1 ) ) = i = 2 m p ( A = i ) p ( B i 1 ) car les résultats de 𝔄 et de 𝔅 sont indépendants ; p ( A > B ) = i = 2 m 1 m i 1 m car les cartes sont équiprobables, qu'il y a une seule carte numéroté i et i 1 cartes de 1 à i 1 (car 1 i 1 m ) ; p ( X = 2 ) = 1 m 2 i = 2 m i 1 = 1 m 2 i = 1 m 1 j = ( m 1 ) m 2 m 2 0 = m 1 2 m

      Pour k [ [ 1 , m 2 ] ] on a ( X = k ) = ( B = A + k + 1 ) car X = B A 1 ( B = A + k + 1 ) = i = ? ? ( ( A = i ) ( B = i + k + 1 ) )

      Les bornes sont imposées par les valeurs possibles de A : 1 i m et de B : 1 i + k + 1 m c'est àdire k i m k 1 ( B = A + k + 1 ) = i = 1 m k 1 ( ( A = i ) ( B = i + k + 1 ) ) réunion disjointe et A et B indépendants : p ( B = A + k + 1 ) = i = 1 m k 1 p ( A = i ) p ( B = i + k + 1 ) = i = 1 m k 1 1 m 1 m = m k 1 m 2

      car les cartes sont équiprobables et que 1 i m et 1 i + k + 1 m (conditions résolues précédemment)

      Donc la loi de X est : { p ( X = 2 ) = ( m 1 ) / 2 m p ( X = k ) = ( m k 1 ) / m 2  si  k [ [ 1 , m 2 ] ]

    2. Pour le calcul de E ( X ) il faut distinguer la valeur k = 2 des autres et la valeur k = 1 qui n'est pas dans les sommes usuelles : E ( X ) = k = 2 m 2 k p ( X = k ) = k = 1 m 2 k p ( X = k ) 2 p ( X = 2 ) = k = 1 m 2 k ( m k 1 ) m 2 2 m 1 2 m = 1 m 2 k = 1 m 2 k 2 + 1 m 2 k = 1 m 2 k ( m 1 ) m 1 m = 1 m 2 k = 0 m 2 k 2 1 m 2 + m 1 m 2 k = 0 m 2 k m 1 m 2 m 1 m = 1 m 2 k = 0 m 2 k 2 + m 1 m 2 k = 0 m 2 k m m 2 m 1 m = 1 m 2 ( m 2 ) ( m 1 ) ( 2 m 3 ) 6 + m 1 m 2 ( m 2 ) ( m 1 ) 2 1 m m 1 m = 1 m 2 ( m 2 ) ( m 1 ) ( 2 m 3 ) 6 + m 1 m 2 ( m 2 ) ( m 1 ) 2 m m = ( m 2 ) ( m 1 ) 6 m 2 ( ( 2 m 3 ) + 3 ( m 1 ) ) 1 = ( m 2 ) ( m 1 ) m 6 m 2 1 = m 2 3 m + 2 6 m 6 m = m 2 9 m + 2 6 m

    3. L'espérance de X est positive si et seulement si m 2 9 m + 2 0.

      Cette expression est du second degré de disciminant : Δ = 81 8 = 73 et pour racines α = ( 9 73 ) / 2 et β = ( 9 + 73 ) / 2

      Et comme 8 2 < 73 < 9 2 on a alors ( strictement croissante sur + ) 8 < 73 < 9 donc 1 / 2 < α < 0 et 17 / 2 < β < 9

      Donc pour m 9 on a E ( X ) > 0 et E ( X ) < 0 sinon. (ce qui est cohérent avec le résultat du 1. )

(ESCP 94)