(ESCP 94)

On dispose d'un paquet de m cartes, m étant un entier supérieur ou égal à 2 . Ces cartes sont numérotées de 1 à m .

Un joueur 𝔄 propose à un joueur 𝔅 le jeu suivant, moyennant une mise de 1 euro que 𝔅 lui verse à chaque partie.

𝔅 tire une carte au hasard, montre le nombre β qu'elle porte et remet la carte dans le paquet. Puis 𝔄 tire une carte au hasard; quand celle-ci porte le numéro α :

  1. On suppose dans cette question que m = 6 .

    1. Dresser le tableau à double entrée donnant les gains (positifs ou négatifs) de 𝔅 suivants les différentes valeurs du couple ( α , β ) .

    2. Soit X la variable aléatoire représentant le gain de 𝔅 . Donner la loi de probabilité de X .

    3. Calculer l'espérance de X . Le jeux est-il équilibré ou avantage-il un des deux joueurs?

    4. Calculer la variance de X .

  2. On revient au cas général: m 2 . On note A le résultat de 𝔄 et B celui de 𝔅 . (Les calculs sont longs)

    On rapelle les formules suivantes pour N : k = 1 N k 2 = N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) 6

    1. Déterminer la loi de X .

    2. Calculer E ( X ) en fonction de m .

    3. Pour quelles valeurs de m , l'espérance de X est-elle positive? On donne 8 2 = 64 et 9 2 = 81.

(ESCP 94)