Corrigé par Pierre Veuillez

    1. Les valeurs possibles de X vont de 1 à 2 n .

      Donc X ( Ω ) = [ [ 1 , 2 n ] ] .

      Les valeurs sont équiprobables et il y en a 2 n . Donc pour tout i de [ [ 1 , 2 n ] , p ( X = i ) = 1 / 2 n

    2. E ( X ) = i = 1 2 n i p ( X = i ) = i = 1 2 n i 1 2 n = 1 2 n i = 1 2 n i = 1 2 n ( i = 0 2 n i 0 ) = 2 n ( 2 n + 1 ) 2 n 2 C o n c l u s i o n :

      E ( X ) = 2 n + 1 2

    1. Entre 1 et i il y a i numéros équiprobables.

      Donc p ( P i ) = i / 2 n . De même p ( S i ) = i / 2 n .

      Or le plus grand des deux est inférieur à i si et seulement si ils le sont tousdeux. Donc ( Y i ) = ( P i ) ( S i ) (indépendants)

      Donc p ( Y i ) = p ( P i ) p ( S i ) = i 2 / 4 n 2 et C o n c l u s i o n :

      p ( Y i ) = i 2 / 4 n 2

    2. Quand Y i , on a ( Y < i ) ou ( Y = i ) . Mais comme Y ne prend que des valeurs entières, ( Y < i ) = ( Y i 1 ) .

      Donc ( Y i ) = ( Y i 1 ) ( Y = i ) ( incompatibles)

      Donc p ( Y i ) = p ( Y i 1 ) + p ( Y = i ) et p ( Y = i ) = p ( Y i ) p ( Y i 1 )

      Donc pour i et i 1 [ [ 1 , 2 n ] ] , i.e. i [ [ 2 , 2 n ] ] ,

      p ( Y = i ) = i 2 4 n 2 ( i 1 ) 2 4 n 2 = i 2 ( i 1 ) 2 4 n 2 = 2 i 1 4 n 2

      et pour i = 1 , p ( Y = 1 ) = p ( Y 1 ) p ( Y 0 ) = 1 4 n 2 0 = 1 4 n 2

      La formule précédente est donc encore vraie pour i = 1 .

      C o n c l u s i o n :

      p ( Y = i ) = 2 i 1 4 n 2 pour tout i de [ [ 1 , 2 n ] ]

    1. i = 1 2 n p ( Y = i ) = i = 1 2 n 2 i 1 4 n 2 = 1 4 n 2 i = 1 2 n 2 i 1 = 1 4 n 2 ( 2 i = 1 2 n i i = 1 2 n 1 ) = 1 4 n 2 ( 2 i = 0 2 n i 0 2 n ) = 2 2 n ( 2 n + 1 ) 2 2 n 4 n 2 = 4 n 2 4 n 2 = 1 ce qui est caratéristique d'une loi de variable aléatoire. E ( Y ) = i = 1 2 n i p ( Y = i ) = i = 1 2 n 2 i 2 i 4 n 2 = 1 4 n 2 i = 1 2 n 2 i 2 i = 1 4 n 2 ( 2 i = 1 2 n i 2 i = 1 2 n i ) = 1 4 n 2 ( 2 i = 0 2 n i 2 0 i = 0 2 n i 0 ) = 1 4 n 2 ( 2 2 n ( 2 n + 1 ) ( 4 n + 1 ) 6 2 n ( 2 n + 1 ) 2 ) = n ( 2 n + 1 ) 4 n 2 ( 2 ( 4 n + 1 ) 3 1 ) = ( 2 n + 1 ) 4 n ( 8 n 1 3 ) = ( 2 n + 1 ) ( 8 n 1 ) 12 n Donc E ( Y ) = ( 2 n + 1 ) ( 8 n 1 ) 12 n

    2. Si i < k , on ne peut obtenir i qu'au second tirage donc ( Z = i ) = ( P < k ) S = i ) et p ( Z = i ) = p ( P < k ) p ( S = i / P < K ) = k 1 2 n 1 2 n = k 1 4 n 2 (le conditionnement indique que le second tirage a bien lieu). Donc p ( Z = i ) = k 1 4 n 2 si i < k

      Si i k , on peut obtenir i au premier tirage et le conserver, ou obtenir une valeur strictement pls petite que k au premier et obtenir i au second.

      Donc ( Z = i ) = ( P = i ) ( P < k ) ( S = i ) (incompatibles)

      Et p ( Z = i ) = p ( P = i ) + p ( P < k ) p ( S = i / P < k ) = 1 2 n + k 1 2 n 1 2 n = k 1 4 n 2 = k 1 2 n 1 2 n = 2 n + k 1 4 n 2  si  i k

    3. Pour calculer i = 1 2 n p ( Z = i ) il faut distinguer suivant que i < k ou i k . Pour celà, on découpe la somme: i = 1 2 n p ( Z = i ) = i = 1 k 1 k 1 4 n 2 + i = k 2 n k 1 + 2 n 4 n 2 = k 1 4 n 2 i = 1 k 1 1 + k 1 + 2 n 4 n 2 i = k 2 n 1 = k 1 4 n 2 i = 1 2 n 1 + 2 n 4 n 2 i = k 2 n 1 = k 1 4 n 2 2 n + 2 n k + 1 2 n = 2 n 2 n = 1 Ce qui est normal puisque ( Z = i ) i [ [ 1 , 2 n ] ] est un système complet d'événements.

    4. E ( Z ) = i = 1 2 n i p ( Z = i ) = i = 1 k 1 i k 1 4 n 2 + i = k 2 n i k 1 + 2 n 4 n 2 = k 1 4 n 2 i = 1 k 1 i + k 1 + 2 n 4 n 2 i = k 2 n i = k 1 4 n 2 ( k 1 ) k 2 + k 1 + 2 n 4 n 2 2 n ( 2 n + 1 ) ( k 1 ) k 2 = k 2 + ( 2 n + 2 ) k + 4 n 2 1 4 n et  E ( Z ) = k 2 + ( 2 n + 2 ) k + 4 n 2 1 4 n Elle est maximale quand q ( k ) = k 2 + ( 2 n + 2 ) k + 4 n 2 1 est maximale.

      On l'écrit sous forme canonique: q ( k ) = ( k ( n + 1 ) ) 2 + ( n + 1 ) 2 + 4 n 2 1

      Donc q ( k ) est maximal pour k = n + 1 et vaut alors q ( n + 1 ) = 5 n 2 + 2 n

      Donc la valeur maximale de E ( Z ) est E ( Z ) max = 5 n + 2 4

    5. il faut comparer le maximum du 3) à la valeur donnée par le 2):

      E ( Z ) max E ( Y ) = 5 n + 2 4 ( 2 n + 1 ) ( 8 n 1 ) 12 n = 3 n ( 5 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) ( 8 n 1 ) 12 n On simplifie le numérateur: 3 n ( 5 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) ( 8 n 1 ) = 15 n 2 + 6 n ( 16 n 2 + 6 n 1 ) = n 2 + 1 = ( n 1 ) ( n + 1 ) 0 puisque n 1 .

      Donc E ( Y ) étant plus grande que la plus grande des autres espérance, elle est toujours la plus grande. C'est donc la méthode qui donne les meilleurs résultats en moyenne.