Soit n * . Une urne contient 2 n jetons numérotés de 1 à 2 n .

  1. Un joueur extrait un jeton au hasard de cette urne. Soit X le numéro aléatoire obtenu.

    1. Quelle est la loi de X ?

      (i.e. quelles sont les valeurs possibles X ( Ω ) de X , et pour tout i de X ( Ω ) , que vaut p ( X = i ) ?)

    2. Calculer i = 1 2 n i p ( X = i ) ce qui est l'epérance de X notée E ( X ) .

  2. Ce joueur effectue à présent deux essais avec remise. On note P la variable aléatoire égale au premier numéro et S celle égale au second. Enfin Y est le plus grand des deux numéros obtenus.

    1. Pour tout i [ [ 1 , 2 n ] ] , déterminer p ( P i ) et p ( S i ) .

      En déduire p ( Y i ) .

    2. Justifier que ( Y i ) = ( Y i 1 ) ( Y = i )

      En déduire que pour tout i de [ [ 1 , 2 n ] ] , p ( Y = i ) = 2 i 1 4 n 2

    3. Calculer i = 1 2 n p ( Y = i ) . Calculer l'espérance de Y : ( E ( Y ) = i = 1 2 n i p ( Y = i ) )

  3. Ce joueur a enfin droit à deux esssais au maximum.

    Il décide d'utiliser la stratégie suivante: Il se donne un nombre k entre 1 et 2 n

    On note Z le numéro aléatoire obtenu par le joueur à son dernier tirage. (i.e. le premier si le 1er numéro est au moins k , sinon, la second).

    1. Pour i < k , décomposer ( Z = i ) en fonction de P et de S .

      En déduire que p ( Z = i ) = k 1 4 n 2  si  i [ [ 1 , k 1 ] ]

    2. Faire de même pour i k ; en déduire que p ( Z = i ) = 2 n + k 1 4 n 2  si  i [ [ k , 2 n ] ]

    3. Calculer i = 1 2 n p ( Z = i ) et justifier ce résultat.

    4. Calculer l'espérance de Z . ( E ( Z ) = i = 1 2 n i p ( Z = i ) )

    5. Pour quelle valeur de k , E ( Z ) est-elle maximale? Que vaut ce maximum?

    6. Vérifier que la règle du 2) donne une espérance supérieure à n'importe quelle stratégie relative à la question 3).