Corrigé ESLSCA 1995 par Pierre Veuillez

  1. Pour une manche, C gagne est l'évènement contraire de A gagne ou B gagne. Donc p ( C ) = 1 p ( A B ) = 1 p ( A ) p ( B ) = 1 2 p . (Car A et B disjoints)

    1. En notant G A , G B et G C les évènements A , B et C gagnent à l'issue de la deuxième manche, on a :

      G A = A 1 A 2 , G B = B 1 B 2 et G C = C 1 C 2 . (ATTENTION ce ne sont pas les notations de la suite)

      et p ( G A ) = p ( A 1 ) p ( A 2 / A 1 ) le conditionnemnt indiquant que le jeu continue. p ( G A ) = p 2 .

      De même p ( G B ) = p 2 et p ( G C ) = ( 1 2 p ) 2 .

    2. Comme T = ''le jeux ne comporte au moins trois manches'' n'est réalisé que si ni G A , ni G B , ni G C ne le sont, on a : p ( T ) = p ( G A G B G C ) = p ( G A G B G C ) = 1 p ( G A G B G C ) = 1 p ( G A ) p ( G B ) p ( G C )  (réunion disjointe) = 1 2 p 2 ( 1 2 p ) 2 = 1 2 p 2 1 + 4 p 4 p 2 = 4 p 6 p 2 = 2 p ( 2 3 p )

    3. En notant G A 3 = '' A gagne le match à l'issue de la toisième manche'', G A 3 n'est réalisé que si A gagne les deux et troisièmes manches, mais pour que le jeux ne s'arrète pas avant, il ne doit pas avoir gagné la première. Donc : G A 3 = ( B 1 C 1 ) A 2 A 3 et p ( G A 3 ) = p ( B 1 C 1 ) p ( A 2 / ( B 1 C 1 ) ) p ( A 3 / ( B 1 C 1 ) A 2 )

      le conditionnement spécifiant que les manches ont bien lieu.

      p ( G A 3 ) = ( p ( B 1 ) + p ( C 1 ) ) × p × p = ( p + 1 2 p ) p 2 = ( 1 p ) p 2 . ( B 1 et C 1 disjoints)

    1. p ( A 1 ) = p , p ( B 1 ) = p , p ( C 1 ) = 1 2 p ,

      A 2 = A 2 ( B 1 C 1 ) car pour que le jeux continue, A ne doit pas avoir gagné deux parties successives.

      p ( A 2 ) = p ( B 1 C 1 ) p ( A 2 / B 1 C 1 ) = ( 1 p ) p

      De même p ( B 2 ) = ( 1 p ) p et p ( C 2 ) = 2 p ( 1 2 p )

    2. A n + 1 = A n + 1 ( B n C n ) car si A a gagné en n et n + 1 , le jeux s'arrète.

      Donc p ( A n + 1 ) = p ( B n C n ) p ( A n + 1 / B n C n ) ici encore le conditionnement se traduit par le fait que la n + 1 i e ` m e manche a lieu. D'où comme B n et C n sont disjoints : p ( A n + 1 ) = ( p ( B n ) + p ( C n ) ) p

      et de même : p ( B n + 1 ) = p ( p ( A n ) + p ( C n ) ) et p ( C n + 1 ) = ( 1 2 p ) ( p ( A n ) + p ( B n ) )

    3. Par récurrence :

      • vrai pour n = 1 .

      • Soit n tel que p ( A n ) = p ( B n ) .

        Alors p ( A n + 1 ) = p ( p ( B n ) + p ( C n ) ) = p ( p ( A n ) + p ( C n ) ) = p ( B n + 1 ) CQFD.

      • Conclusion : pour tout n * : p ( A n ) = p ( B n ) D'où p ( C n + 1 ) = 2 ( 1 2 p ) p ( A n ) .

    4. On a pour tout entier n 1 : p ( A n + 2 ) = p ( p ( B n + 1 ) + p ( C n + 1 ) ) = p ( p ( A n + 1 ) + 2 ( 1 2 p ) p ( A n ) ) = p p ( A n + 1 ) + 2 p ( 1 2 p ) p ( A n ) .

      (suite récurrente linéaire d'ordre 2 à coefficients constants).

  2. On suppose à présent que p = 0 , 2

    1. On a donc p ( A n + 2 ) = 0 , 2 p ( A n + 1 ) + 2 0 , 2 ( 1 2 0 , 2 ) p ( A n ) = 0 , 2 p ( A n + 1 ) + 0 , 24 p ( A n )

      Suite récurrente linéaire d'ordre 2 à coefficients constants qui a pour équation caractéristique : r 2 0 , 2 r 0 , 24 = 0

      équation du second degré de discriminant : Δ = 0 , 2 2 + 4 0 , 24 = 0 , 04 + 0 , 96 = 1 et pour racines : α = 0 , 2 1 2 = 0 , 4 et β = 0 , 2 + 1 2 = 0 , 6

      On a donc pour tout entier n : p ( A n ) = a ( 0 , 4 ) n + b 0 , 6 n avec a et b solutions de : { p ( A 1 ) = a ( 0 , 4 ) 1 + b 0 , 6 1 p ( A 2 ) = a ( 0 , 4 ) 2 + b 0 , 6 2

      Comme p ( A 1 ) = p = 0 , 2 et p ( A 2 ) = ( 1 p ) p = 0 , 2 0 , 8 = 0 , 16 on a donc : { 0 , 2 = 0 , 4 a + 0 , 6 b 0 , 16 = 0 , 16 a + 0 , 36 b { 0 , 2 = 0 , 4 a + 0 , 6 b 0 , 24 = 0 , 60 b 0 , 4 L 1 + L 2 a = ( 0 , 2 + 0 , 6 b ) / 0 , 4 = 0 , 04 / 0 , 4 = 0 , 1 b = 0 , 24 / 0 , 6 = 0 , 4

      et pour tout entier n 1 : p ( A n ) = 0 , 1 ( 0 , 4 ) n + 0 , 4 0 , 6 n

    2. On a alors p ( C n ) = 2 ( 1 2 p ) p ( A n 1 ) = 1 , 2 ( 0 , 1 ( 0 , 4 ) n 1 + 0 , 4 0 , 6 n 1 ) = 0 , 8 0 , 6 n 0 , 3 ( 0 , 4 ) n

    3. Le jeux n'est pas achevé à l'issue de la n i e ` m e manche si et seulement si A n , B n ou C n sont réalisés.

      Sa probabilité est donc : p ( A n B n C n ) = p ( A n ) + p ( B n ) + p ( C n ) = 2 ( 0 , 1 ( 0 , 4 ) n + 0 , 4 0 , 6 n ) + 0 , 8 0 , 6 n 0 , 3 ( 0 , 4 ) n = 1 , 6 0 , 6 n 0 , 1 ( 0 , 4 ) n n + 0

      car | 0 , 4 | < 1 et | 0 , 6 | < 1. Doncla probabilité que le jeux ne s'arrète jamais est nulle.