(ESLSCA 1995)

Trois joueurs A , B et C s'affrontent simultanément dans un jeux. Pour chaque manche il n'y a qu'un vainqueur possible.

A et B sont de même force et gagnent les manches chacun avec une probabilité de p

(avec 0 < p < 1 / 2 ).

Est d\eclar\e vainqueur de ce jeux le premier joueur qui gagne deux manches cons\ecutives.

  1. Quelle est la probabilité de gain de C pour chaque manche?

    1. Quelle est la probabilité pour A , pour B , et pour C de gagner le match à l'issue de la deuxième manche ?

    2. Quelle est la probabilité que le jeux comporte au moins trois manches ?

    3. Quelle est la probabilité que A gagne le match à l'issue de la toisième manche ?

  2. pour tout n entier, n 1 , on note A n (respectivement B n ou C n ) l'évènement: ''le jeu n'est pas achevé avant la n i e ` m e manche et et la n i e ` m e manche est gagné par A (respectivement B pour B n , ou C pour C n ) et le jeu continue.''

    1. Calculer p ( A 1 ) , p ( B 1 ) , p ( C 1 ) , p ( A 2 ) , p ( B 2 ) et p ( C 2 ) .

    2. Montrer que pour tout n de * , on a : { p ( A n + 1 ) = p ( p ( B n ) + p ( C n ) ) p ( B n + 1 ) = p ( p ( A n ) + p ( C n ) ) p ( C n + 1 ) = ( 1 2 p ) ( p ( A n ) + p ( B n ) )

    3. En déduire que l'on a pour tout n de * , p ( A n ) = p ( B n ) . En déduire p ( C n + 1 ) en fonction de p ( A n ) .

    4. Déterminer p ( A n + 2 ) en fonction de p ( A n + 1 ) et p ( A n ) .

  3. On suppose dans cette question que l'on a p = 0 , 2

    1. Pour n * , calculer p ( A n ) en fonction de n .

    2. En déduire p ( C n )

    3. Calculer la probabilité pour que le jeux ne soit pas achevé à l'issue de la n i e ` m e manche et calculer la limite de cette probabilité lorsque n tend vers + . Quelle conclusion peut-on en tirer.

(ESLSCA 1995)