Corrigé par Pierre Veuillez
    1. "le deuxième lancer se fait avec la pièce équilibrée"= E2 · Pour relancer la même pièce, il faut avoir obtenu Pile. Donc p( E2 )=p( P1 )=p( P1 / E1 )=1/2
      Si l'on a eu Pile au premier lancer (conditionnment), on a conservé la pièce E. On demande donc p( P2 / P1 )=p( P2 / E2 )=1/2.
    2. "On a obtenu Pile au deuxième lancer" est un conditionnement. On nous demande donc p( T2 / P2 ) Or on connait la probabilité avec le conditionnment inversé. On utilise donc la formule de Bayes:
      p( T2 / P2 )= p( T2 P2 ) p( P2 ) = p( T2 )·p( P2 / T2 ) p( P2 )

      p( P2 ) dépend de la pièce avec laquelle le lancer a été fait: On l'obtient par la formule des probabilités totales appliquées avec la système complet d'évènements ( E2 , T2 ):
      p( P2 )=p( T2 )·p( P2 / T2 )+p( E2 )·p( P2 / E2 )=p( F1 )· 3 4 +p( P1 )· 1 2 = 3 8 + 1 4 = 5 8

      et p( T2 / P2 )= 3/8 5/8 = 3 5
    3. Le contraire de A="au moins un Pile lors des deux premiers" est B="que des Face lors des deux premiers lancers". Donc p(A)=1-p(B)
      Or B= F1 F2 et
      p(B)=p( F1 )·p( F2 / F1 )= 1 2 ·p( F2 / T2 )= 1 2 · 1 4 = 1 8

      Donc p(A)=7/8
    4. C="le premier Face au deuxième lancer" signifie que l'on a eu F au second et pas avant; et C= P1 F2 . Donc p(C)=p( P1 )·p( F2 / P1 )= 1 2 ·p( F2 / E2 )= 1 2 · 1 2 =1/4.
    1. Le lancer de la pièce E en n+1 dépend de la pièce lancée précédemment. On utilise odnc la formule des probabilités totales: ( En , Tn ) est un système complet d'événments. Donc
      p( En+1 )=p( En+1 / En )·p( En )+p( En+1 / Tn )·p( Tn )

      Le conditionnment précise si l'on a changé ou non de pièce. Donc si l'on a eu Pile ou Face:
      p( En+1 ) = p( Pn / En )·p( En )+p( Fn / Tn )·p( Tn ) = 1 2 p( En )+ 1 4 p( Tn )

      De la même façon,
      p( Tn+1 )=p( En )·p( Fn / En )+p( Tn )·p( Pn / Tn )= 1 2 p( En )+ 3 4 p( Tn )

    2. Or Tn est le contraire de En donc p( Tn )=1-p( En ) et
      p( En+1 )= 1 2 p( En )+ 1 4 (1-p( En ))= 1 4 p( En )+ 1 4

      Donc (p( En ))n est une suite arithmético-géométrique, et ... pour tout entier n, p( En )= 8 3 ( 1 4 )n + 1 3
    1. PPn ="on n'a pas eu de P avant le nième et on en a un an n" donc PPn = i=1 n-1 Fi Pn et FFn = i=1 n-1 Pi Fn .
    2. Donc, les lancers n'étant pas indépendants, p( PFn )=p( P1 )·p( P2 / P1 )p( Pn-1 / P1 Pn-2 )·p( Fn / P1 Pn-1 )
      Or si l'on n'a eu que des piles ,on ne change pas de pièce et on relance toujours E. Donc p( PFn )=p( P1 )·p( P2 / E2 )p( Pn-1 / En-1 )·p( Fn / En )=1/ 2n .
    3. Ici, on a F et on change de pièce à chaque fois:
      p( PP1 )=p( P1 )=1/2. p( PP2 )=p( F1 )·p( P2 / F1 )=p( F1 )·p( P2 / T2 )= 1 2 · 3 4 p( PP3 )=p( F1 )·p( F2 / F1 )·p( P3 / F1 F2 )=p( F1 )·p( F2 / T2 )·p( P3 / E3 )= 1 2 · 1 4 · 1 2 p( PP4 )=p( F1 )·p( F2 / F1 )·p( F3 / F1 F2 )·p( P3 / F1 F2 F3 ) =p( F1 )·p( F2 / T2 )·p( F3 / E3 )·p( P4 / T4 )= 1 2 · 1 4 · 1 2 · 3 4

      on a une fois sur deux 1/2 et une fois sur deux 1/4. Les pairs se terminent par 3/4 et les imapairs par 1/2
    4. Si l'on n'a eu que des Face, on change de pièce à chaque fois. Donc les lancers pairs se font avec T et les lancers impairs avec E:

      p( PP2n )=p( F1 )·p( F2 / T2 )p( F2n-1 / E2n-1 )·p( P2n / T2n ) = 1 2 · 1 4 · 1 2 · 3 4 =( 1 2 )n ·( 1 4 )n-1 · 3 4 =3·( 1 2 )n ·( 1 4 )n =3/ 23n .

      et
      p( PP2n+1 )=p( F1 )·p( F2 / T2 )p( F2n / T2n )·p( P2n+1 / E2n+1 ) = 1 2 · 1 4 · 1 4 · 1 2 =( 1 2 )n+1 ·( 1 4 )n =1/ 23n+1 .

    5. Sn = i=1 2np( PPi ) mais il faut distinguer les indices pairs et les indices imlpairs:
      Sn = i=1:i pair 2np( PPi )+ i=1:i impair 2np( PPi )

      Les nombres pairs s'écrivent 2·j avec j entier . Le premier pair est 2, et le dernier 2n. Donc j[[1,n]]
      Les nombres impairs s'écrivent 2·j+1 avec j entier . Le premier pair est 1 ( j=0), et le dernier 2n-1 ( j=n-1). Donc
      Sn = j=1 np( PP2j )+ j=0 n-1p( PP2j+1 )= j=1 n 3 23j + j=0 n-1 1 23j+1 =3 j=1 n ( 1 8 )j + 1 2 · j=0 n-1 ( 1 8 )j = 3 j=0 n ( 1 8 )j -3+ 1 2 · j=0 n-1 ( 1 8 )j =3· 1/ 8n+1 -1 1/8-1 -3+ 1 2 · 1/ 8n -1 1/8-1 = - 3.8 7 ( 1 8n+1 -1)-3- 1 2 · 8 7 ( 1 8n -1)=- 3 7 1 8n + 24 7 -3- 4 7 1 8n + 4 7 = 1- 1 8n




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On 18 May 2004, 00:01.