On dispose de deux pièces ( P i l e / F a c e ) E et T . La pièce E est équilibrée. La pièce T est truquée. La probabilité d'obtenir P i l e avec la pièce truquée est de 3 / 4 .

On effectue une suite de lancers de la façon suivante:

Ensuite, pour chacun des lancers suivants, on choisit ainsi la pièce:

Par exemple: Si au n i e ` m e lancer on avait la pièce T et que l'on a obtenu P i l e , le n + 1 i e ` m e lancer se fera encore avec la pièce T .

Si au n i e ` m e lancer on avait la pièce T et que l'on a obtenu F a c e , le n + 1 i e ` m e lancer se fera avec la pièce E .

Notation: Pour tout n * , on notera T n (ou E n ) l'événement ''utiliser la pièce T (ou E ) pour le n i e ` m e lancer''. On notera P n ( ou F n ) l'événement ''obtenir Pile (ou Face)au n i e ` m e lancer''.

  1. Les deux premiers lancers.

    1. Déterminer la probabilité que le deuxième lancer se fasse avec la pièce équilibrée.

      Si le premier lancer a donné Pile, quelle est la probabilité que le deuxième donne Pile également?

    2. On a obtenu Pile au deuxième lancer. Calculer la probabilité que ce soit avec la pièce T.

    3. Calculer la probabilité d'obtenir au moins un Pile lors des deux premiers lancers.

    4. Calculer la probabilité d'obtenir le premier Face au deuxième lancer.

  2. Relation de récurrence:

    1. Exprimer p ( E n + 1 ) et p ( T n + 1 ) en fonction de p ( E n ) et p ( T n ) .

    2. Montrer que pour tout entier n 1 , p ( E n + 1 ) = 1 4 p ( E n ) + 1 4

      En déduire la valeur de p ( E n ) e n fontion de n .

  3. La toute première fois:

    Pour tout n * , on note P P n l'événement ''le premier P i l e est obtenu lors du n i e ` m e lancer'' et P F n l'événement ''le premier F a c e est obtenu au n i e ` m e lancer''.

    1. Pour tout n * , exprimer P P n et P F n en fonction des résultats des lancers.

    2. En déduire la probabilité de P F n .

    3. Calculer les probabilités de P P 1 , P P 2 , P P 3 , P P 4 .

    4. Pour n * , calculer la probabilité p ( P P 2 n ) et pour n , p ( P P 2 n + 1 ) . ( vérifier pour n = 1 )

    5. Calculer pour tout n * , S n = i = 1 2 n p ( P P i ) , puis sa limite quand n tend vers + . Conclure.