On dispose de deux pièces
(
P
⁢
i
⁢
l
⁢
e
/
F
⁢
a
⁢
c
⁢
e
)
E
et
T
.
La pièce
E
est équilibrée. La pièce
T
est truquée. La probabilité d'obtenir
P
⁢
i
⁢
l
⁢
e
avec la pièce truquée est de
3
/
4
.
On effectue une suite de lancers de la façon suivante:
Ensuite, pour chacun des lancers suivants, on choisit ainsi la pièce:
-
Si le résultat précédent est
P
⁢
i
⁢
l
⁢
e
,
on conserve la même pièce pour le lancer suivant.
-
Si le résultat précédent est
F
⁢
a
⁢
c
⁢
e
,
on prend l'autre pièce pour le lancer suivant.
Par exemple: Si au
n
i
⁢
e
`
⁢
m
⁢
e
lancer on avait la pièce
T
et que l'on a obtenu
P
⁢
i
⁢
l
⁢
e
,
le
n
+
1
i
⁢
e
`
⁢
m
⁢
e
lancer se fera encore avec la pièce
T
.
Si au
n
i
⁢
e
`
⁢
m
⁢
e
lancer on avait la pièce
T
et que l'on a obtenu
F
⁢
a
⁢
c
⁢
e
,
le
n
+
1
i
⁢
e
`
⁢
m
⁢
e
lancer se fera avec la pièce
E
.
Notation: Pour tout
n
∈
ℕ
*
,
on notera
T
n
(ou
E
n
) l'événement ''utiliser la pièce
T
(ou
E
)
pour le
n
i
⁢
e
`
⁢
m
⁢
e
lancer''. On notera
P
n
( ou
F
n
)
l'événement ''obtenir Pile (ou Face)au
n
i
⁢
e
`
⁢
m
⁢
e
lancer''.
-
Les deux premiers lancers.
-
Déterminer la probabilité que le deuxième lancer se fasse avec
la pièce équilibrée.
Si le premier lancer a donné Pile, quelle est la probabilité que le
deuxième donne Pile également?
-
On a obtenu Pile au deuxième lancer. Calculer la probabilité que ce
soit avec la pièce T.
-
Calculer la probabilité d'obtenir au moins un Pile lors des deux premiers
lancers.
-
Calculer la probabilité d'obtenir le premier Face au deuxième
lancer.
-
Relation de récurrence:
-
Exprimer
p
⁡
(
E
n
+
1
)
et
p
⁡
(
T
n
+
1
)
en fonction de
p
⁡
(
E
n
)
et
p
⁡
(
T
n
)
.
-
Montrer que pour tout entier
n
≥
1
,
p
⁡
(
E
n
+
1
)
=
1
4
⁢
p
⁡
(
E
n
)
+
1
4
En déduire la valeur de
p
⁡
(
E
n
)
⁢
e
⁢
n
fontion de
n
.
-
La toute première fois:
Pour tout
n
∈
ℕ
*
,
on note
P
⁢
P
n
l'événement ''le premier
P
⁢
i
⁢
l
⁢
e
est obtenu lors du
n
i
⁢
e
`
⁢
m
⁢
e
lancer'' et
P
⁢
F
n
l'événement
''le premier
F
⁢
a
⁢
c
⁢
e
est obtenu au
n
i
⁢
e
`
⁢
m
⁢
e
lancer''.
-
Pour tout
n
∈
ℕ
*
,
exprimer
P
⁢
P
n
et
P
⁢
F
n
en fonction des résultats des lancers.
-
En déduire la probabilité de
P
⁢
F
n
.
-
Calculer les probabilités de
P
⁢
P
1
,
P
⁢
P
2
,
P
⁢
P
3
,
P
⁢
P
4
.
-
Pour
n
∈
ℕ
*
,
calculer la probabilité
p
⁡
(
P
⁢
P
2
⁣
n
)
et pour
n
∈
ℕ
,
p
⁡
(
P
⁢
P
2
⁢
n
+
1
)
.
(
vérifier
pour
n
=
1
)
-
Calculer pour tout
n
∈
ℕ
*
,
S
n
=
∑
i
=
1
2
⁢
n
p
⁡
(
P
⁢
P
i
)
,
puis sa limite quand
n
tend vers
+
∞
.
Conclure.