Corrigé INSEECom 2002 par Pierre Veuillez

    1. Sauf pour la première partie, quand il a gagné la partie précédente, il mise sur 3 numéros parmi 12 équiprobables. Donc la probabilité qu'il gagne est p ( A n + 1 / A n ) = 3 / 12 = 1 / 4

      Quand il a perdu, par contre, il ne mise que sur 2 numéros donc la probabilité qu'il gagne est p ( A n + 1 / A n ) = 2 / 12 = 1 / 6

      Comme ( A n , A n ) est un systèeme complet d'événements alors p ( A n + 1 ) = p ( A n + 1 / A n ) p ( A n ) + p ( A n + 1 / A n ) p ( A n ) = 1 4 p ( A n ) + 1 6 p ( A n ) = 1 4 p ( A n ) + 1 6 ( 1 p ( A n ) ) = 1 12 p ( A n ) + 1 6 et on a donc bien : n * p n + 1 = 1 12 p n + 1 6

    2. Cette suite est arithmético-géométrique. On détermine donc un réle c tel que c = 1 12 c + 1 6 c = 2 11

      On définit alors la suite u par : u n = p n c et on a pour tout entier n 1 : u n + 1 = p n + 1 c = 1 12 p n + 1 6 ( 1 12 c + 1 6 ) = 1 12 ( p n c ) = 1 12 u n

      la suite u est géométrique de raison 1 / 12 donc pour tout entier n 1 : u n = ( 1 12 ) n 1 u 1 = ( 1 12 ) n 1 ( p 1 2 11 ) = ( 1 12 ) n 1 ( 1 4 2 11 ) p n = u n + c = 3 44 ( 1 12 ) n 1 + 2 11 2 11  quand  n +

      car | 2 11 | < 1

  1. Soit k [ [ 1 ; n ] ] , on note B k l'événement : ''le joueur gagne une seule fois au cours des n premières parties et ce gain a lieu à la k i e ` m e partie''

    1. En notant P k = A k l'événemenet ''il perd la k i e ` m e partie'' on a : B n = P 1 P 2 \dots P n 1 A n et p ( B n ) = p ( P 1 ) p ( P 2 / P 1 ) \dots p ( P n 1 / P 1 P 2 \dots P n 1 ) p ( A n / P 1 P 2 \dots P n 1 ) le conditionnement précise qu'à partir du second jeux, le joueur ne mise que sur 2 jetons donc la probabilité de perdre est de 10/12=5/6 p ( B n ) = 9 12 5 6 \dots 5 6 1 6 = 3 4 ( 5 6 ) n 2 1 6

    2. VERIFIER pour le premier tirage qui est particulier

      De même B k = P 1 P 2 \dots A k P k + 1 \dots P n p ( B k ) = p ( P 1 ) p ( P 2 / P 1 ) \dots p ( A k / P 1 \dots P k 1 ) p ( P k + 1 / P 1 \dots P k 1 A k ) \dots p ( P n / P 1 P 2 \dots P n 1 ) = 3 4 5 6 \dots 5 6 1 6 3 4 5 6 \dots 5 6 avec p ( P 1 ) = 3 / 4 , p ( A k / P 1 \dots P k 1 ) = 1 / 6 car ayant perdu au tour précédent, il ne tente que 2 numéros et p ( P k + 1 / P 1 \dots P k 1 A k ) = 3 / 4 car au tour précédent il avait gagné.

      Les n 3 autres jeux se font avec 2 numéros et la probabilité de perdre est donc de 5/6.

      Donc p ( B k ) = ( 3 4 ) 2 1 6 ( 5 6 ) n 3 pour k [ [ 2 , n 1 ] ]

      Et pour p ( B 1 ) on aura un gagnant et un perdant avec 3 numéros tentés et tous les autres perdants avec 2 numéros.

      Donc p ( B 1 ) = 1 4 ( 3 4 ) ( 5 6 ) n 2

    3. Ici, le nombre de gain ne suit pas une loi binômiale (les résultats ne sont pas indépendants et la probabilité change avec les jeux)

      En notant B le fait de gagner exactement une fois, B = k = 1 n B k la réunion étant disjointe, q n = p ( B ) = k = 1 n p ( B k ) = 3 16 ( 5 6 ) n 2 + k = 2 n 1 ( 3 4 ) 2 1 6 ( 5 6 ) n 3 + 3 4 ( 5 6 ) n 2 1 6 = ( 5 6 ) n 3 [ 3 16 5 6 + ( n 3 ) ( 3 4 ) 2 1 6 + 3 4 5 6 1 6 ] = ( 5 6 ) n 3 [ 5 32 + n 3 32 9 32 + 5 48 ] = ( 1 48 + 3 32 n ) ( 5 6 ) n 3

(INSEECom 2002)