(INSEECom 2002)

Une roue de loterie se compose de secteurs identiques, numérotés de 1 à 12.

Une personne fait tourner la roue devant un repère fixe. On suppose que chaque secteur a lamême probabilitéde s'arrèter devant ce repère.

A chaque partie un joueur mise une certaine somme d'argent en choississant un, deux ou trois numéros sur les 12; il est gagnant si le secteur qui s'arrète devant le repère porte l'un des numéros qu'il a choisis.

Un joueur possèdant un crédit illimité, effectue une suite de parties en adoptant la stratégie suivante :

  1. On note p n la probabilité de l'événement A n : '' le joueur gagne la n i e ` m e partie''.

    1. Calculer les probabilité conditionnelles p ( A n + 1 / A n ) et p ( A n + 1 / A n ) , en déduire que : n * p n + 1 = 1 12 p n + 1 6

    2. En déduire l'expression de p n en fonction de n et déterminer lim n + p n

  2. Soit k [ [ 1 ; n ] ] , on note B k l'événement : ''le joueur gagne une seule fois au cours des n premières parties et ce gain a lieu à la k i e ` m e partie''

    1. A l'aide de la formule des probabilités composées, calculer p ( B n )

    2. Soit k [ [ 1 ; n 1 ] ] , calculer p ( B k )

    3. En déduire la probabilté q n pour que le joueur gagne une seule fois au cours des n premières parties.

(INSEECom 2002)