(EML 2002)

Étude préliminaire



  1. On admet, pour tout entier k et pour tout x [ 0 , 1 [ que la série n k C n k x n est convergente et on note s k ( x ) = n = k + C n k x n .

    1. Vérifier, pour tout réel x de [ 0 , 1 [ : s 0 ( x ) = 1 1 x     et     s 1 ( x ) = x ( 1 x ) 2

    2. Pour tout couple d'entiers naturels ( n , k ) tels que n > k , montrer : C n + 1 k + 1 = C n k + C n k + 1

    3. Pour tout entier naturel k et pour tout réel x de [ 0 , 1 [ , déduire de la question précédente : s k + 1 ( x ) = x s k ( x ) + x s k + 1 ( x )

    4. Montrer par récurrence : k x [ 0 , 1 [    s k ( x ) = x k ( 1 x ) k + 1

  2. Étude d'une expérience aléatoire



    On considère une urne contenant une boule noire et quatre boules blanches. On effectue l'expérience aléatoire suivante :

    1. Déterminer la loi de la variable aléatoire N . Donner son espérance .

    2. Soient k et n * . Déterminer la probabilité conditionnelle P ( X = k / N = n ) .

    3. Vérifier que : P ( X = 0 ) = 4 9 .

    4. En utilisant l'étude préliminaire, montrer : k *    P ( X = k ) = 25 36 ( 4 9 ) k

    5. Montrer que X admet une espérance E ( X ) et calculer E ( X ) .

    6. Montrer :    k    P ( X k ) = 1 5 9 ( 4 9 ) k .

(EML 2002)