ESCP 2002

Partie A

  1. \vskip -3mmPremiers exemples

    Pour tout entier naturel n , calculer w n en fonction de n dans chacun des cas suivants :

    1. pour tout entier naturel n , u n = 2 et v n = 3 .

    2. pour tout entier naturel n , u n = 2 n et v n = 3 n .

    3. pour tout entier naturel n , u n = 2 n n ! et

  2. Programmation

    Dans cette question, les suites u et v sont définies par :

    Écrire un programme en Turbo-Pascal qui demande à l'utilisateur une valeur de l'entier naturel n , qui calcule et affiche les valeurs w 0 , w 1 , , w n .

  3. Un résultat de convergence

    Dans cette question, la suite u est définie par : n , u n = ( 1 2 ) n et v est une suite de réels positifs, décroissante à partir du rang 1 et de limite nulle.

    1. Établir, pour tout couple d'entiers naturels ( n , m ) vérifiant n < m , l'inégalité : k = n + 1 m u k u n .

    2. Soit n un entier strictement supérieur à 1 . Prouver les inégalités : w 2 n v 0 u 2 n + 2 v n + v 1 u n et w 2 n + 1 v 0 u 2 n + 1 + 2 v n + 1 + v 1 u n

    3. En déduire que les deux suites ( w 2 n ) n et ( w 2 n + 1 ) n convergent vers 0 ainsi que la suite ( w n ) n .

    4. Soit u la suite définie par: n , u n = ( 1 2 ) n . À l'aide de la question précédente, montrer que la suite u * v est convergente et de limite nulle.

\refstepcounter Partie Partie \arabic{Partie} : Application à l'étude d'un ensemble de suites

Dans cette partie, A désigne l'ensemble des suites a = ( a n ) n de réels positifs vérifiant : n * , a n + 1 1 2 ( a n + a n 1 )

  1. Montrer que toute suite décroissante de réels positifs est élément de A et qu'une suite strictement croissante ne peut appartenir à A .

  2. Soit z = ( z n ) n une suite réelle vérifiant : n * , z n + 1 = 1 2 ( z n + z n 1 ) .

    1. Montrer qu'il existe deux constantes réelles α et β telles que l'on a : n , z n = α + β ( 1 2 ) n

    2. En déduire qu'il existe des suites appartenant à A et non monotones.

  3. Soit a = ( a n ) n un élément de A et b la suite définie par : n , b n = ( 1 2 ) n .

    On définit alors la suite c par : c 0 = a 0 et n * , c n = a n + 1 2 a n 1 .

    1. Montrer que la suite c est décroissante à partir du rang 1 et qu'elle converge vers un nombre que l'on ne cherchera pas à calculer.

    2. Pour tout entier naturel n , établir l'égalité : k = 0 n ( 1 2 ) k c n k = a n .

      Que peut-on en déduire pour les suites b * c et a ?

    3. Soit ϵ la suite définie par : n , ϵ n = c n et d la suite b * ϵ .

      En utilisant le résultat de la question 3. de la Partie 1, montrer que la suite d converge vers 0 .

    4. Pour tout entier naturel n , établir l'égalité : d n = a n 2 3 ( 1 ( 1 2 ) n + 1 ) .

      En déduire que la suite a converge et préciser sa limite.

Partie B : Application aux variables aléatoires

\vskip 4mm \vbox{Dans cette partie, toutes les variables al\'eatoires envisag\'ees sont suppos\'ees d\'efinies sur le m\^eme espace probabilis\'e $(\Omega,\mathcal{A}, \textbf{P})$. }

  1. Résultats préliminaires

    On suppose que X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans et on désigne par S leur somme.

    1. Pour tout entier naturel n , on pose: u n = P ( [ X = n ] ) et v n = P ( [ Y = n ] ) .
      Montrer que l'on a: n , P ( [ S = n ] ) = w n , ( w étant la suite définie à partir des suites u et v en tête du problème).

    2. Retrouver alors le résultat de la question 1.c) de la Partie 1 par un choix adéquat des lois de X et de Y .

    3. Pour toute variable aléatoire Z à valeurs dans , on note 2 Z la variable aléatoire prenant, pour tout entier naturel n , la valeur 2 n si et seulement si l'événement [ Z = n ] est réalisé. Montrer que la variable aléatoire 2 Z admet une espérance donnée par : \vskip -3mm E ( 2 Z ) = n = 0 P ( [ Z = n ] ) ( 1 2 ) n \vskip -5mm On note r ( Z ) cette espérance.

    4. Que peut-on dire des variables aléatoires 2 X et 2 Y ?
      En déduire l'égalité: r ( S ) = r ( X ) r ( Y ) .

    5. On suppose que ( X n ) n * est une suite de variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans et de même loi. Pour tout entier naturel non nul q , on désigne par S q la variable aléatoire définie par : S q = i = 1 q X i . Établir l'égalité : r ( S q ) = ( r ( X 1 ) ) q .

    \vfill \break

  2. Une formule sommatoire

    1. Montrer que les égalités : n , P ( [ Z = n ] ) = ( 1 2 ) n + 1 définissent la loi de probabilité d'une variable aléatoire Z à valeurs dans . Calculer alors le nombre r ( Z ) .

    2. On suppose que ( X n ) n * est une suite de variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans , de même loi que Z et, pour tout entier naturel non nul q , on désigne encore par S q la variable: \vskip -5mm S q = i = 1 q X i \vskip -5mm En admettant, pour tout entier naturel non nul q , l'égalité k = 0 n C k + q q = C n + q + 1 q + 1 , montrer par récurrence que la loi de S q est donnée par : \vskip -3mm n , P ( [ S q = n ] ) = C n + q 1 q 1 ( 1 2 ) n + q

    3. Pour tout entier naturel non nul q , calculer le nombre r ( S q ) et en déduire la relation: \vskip -3mm n = 0 C n + q 1 q 1 ( 1 4 ) n = ( 4 3 ) q

  3. Un exemple concret

    On admet, dans cette question, que la variable aléatoire Z définie à la question 2.a) représente le nombre de petits devant naître en 2003 d'un couple de kangourous. Chaque petit kangourou a la même probabilité 1 2 d'être mâle ou femelle, indépendamment des autres. On note F la variable aléatoire égale au nombre de femelles devant naître en 2003 .

    1. Préciser, pour tout entier naturel n , la loi conditionnelle de F sachant [ Z = n ] .

    2. À l'aide de la formule obtenue en Q2d, montrer que la loi de F est donnée par : \vskip -3mm n , P ( [ F = n ] ) = 2 3 ( 1 3 ) n

    3. Justifier l'existence des espérances E ( Z ) et E ( F ) des variables aléatoires Z et F , puis vérifier l'égalité : E ( Z ) = 2 E ( F ) .