Corrigé ESC 2005 par Pierre Veuillez
Une urne contient initialement deux boules rouges et une boule bleue
indiscernables au toucher.
On appelle '' épreuve '' la séquence
suivante :
On tire une boule de l'urne, puis :
Si la boule tirée est bleue , on la remet dans l'urne.
Si la boule tirée est rouge , on ne la remet pas dans l'urne mais on remet une boule bleue dans l'urne à sa place.
L'expérience aléatoire consiste à effectuer une succession
illimitée d'épreuves.
Pour tout entier naturel
On notera pour chaque entier naturel
Si on a tiré rouge, elle est remplacée par bleue et il n'en reste qu'une
Si on tiré bleu, elle est remise dans l'rne et il reste 2 rouges.
Donc
et
Quand
Donc à l'issue des
Donc
Donc
On pose pour tout entier naturel non
nul
On a trouvé
On a
Comme
On a donc bien
Pour
Donc
Et pour
Conclusion :
On pose pour tout entier naturel
On
calcule
avec
Conclusion :
Pour
formule que l'on test pour
Conclusion :
On a alors
On note
La dernière boule rouge (la seconde) peut apparaître à partir de la seconde épreuve au plus tôt et il n'y a pas de plus tard.
Donc
Soit
Donc qu'après ce tirage il n'y en a plus alors qu'avant il y en avait encore une :
Donc (les deux ne sont pas du tout indépendants !)
La loi de