ESC 2005

Une urne contient initialement deux boules rouges et une boule bleue indiscernables au toucher.
On appelle " épreuve " la séquence suivante :
On tire une boule de l'urne, puis :

L'expérience aléatoire consiste à effectuer une succession illimitée d'épreuves.
Pour tout entier naturel n non nul , on note Y n la variable aléatoire discrète égale au nombre de boules rouges présentes dans l'urne à l'issue de la n - ième épreuve.
On notera pour chaque entier naturel k non nul les événements suivants :

R k : " Lors de la k -ième épreuve on a extrait une boule rouge de l'urne. "

B k : " Lors de la k -ième épreuve on a extrait une boule bleue de l'urne. "

  1. Donner la loi de probabilité de Y 1 .

  2. Quelles sont les valeurs possibles de Y n dans le cas où n est supérieur ou égal à 2 ?

  3. Calculer pour tout entier naturel non nul n , P ( Y n = 2 ) .

  4. On pose pour tout entier naturel non nul n , u n = P ( Y n = 1 ) .

    1. Rappeler la valeur de u 1 et montrer que u 2 = 2 3 .

    2. En utilisant un système complet d'événements lié à la variable Y n , montrer que pour tout entier naturel n 2 , u n + 1 = 2 3 u n + 2 3 n + 1 . Cette relation reste-t-elle valable lorsque n = 1 ?

    3. On pose pour tout entier naturel n non nul v n = u n + 2 3 n .
      Montrer que la suite ( v n ) n × est géométrique.
      En déduire v n en fonction de n et de v 1 ,
      Etablir enfin que pour tout entier naturel non nul n , u n = 2 ( 2 3 ) n 2 3 n .

    4. Déduire des résultats précédents P ( Y n = 0 ) pour tout entier naturel non nul n .

  5. Calculer l'espérance de Y n .

  6. On note Z la variable aléatoire égale au numéro de l'épreuve amenant la dernière boule rouge.

    1. Donner Z ( Ω ) .

    2. Soit k un entier supérieur ou égal à 2.
      Exprimer l'événement ( Z = k ) en fonction des variables Y k et Y k 1 .

    3. En déduire la loi de Z .